Матрица в другом базисе

[AlR]

Линейный оператор в базисе $e_1, e_2, e_3$ задается матрицей

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Найти его матрицу в новом базисе $a_1, a_2, a_3$ если изветсно разложение векторов $a_1=e_1+e_2+e_3, a_2 = e_1+2e_2-2e_3, a_3 = e_1-e_3$

Я правильно понял, что для того что бы найти матрицу перехода надо сложить по этим формулам базисы.
т.е.
$a_1=(2, 3, 1)+(1, 2, 1) + (-1, -1, 2)$
и т.д.?

[svv]

Нет-нет-нет. Матрица перехода здесь
$\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&-2&-1\end{bmatrix}$
К Вам вопрос: и как я это получил?

[AlR]

Я подумал что по разложению векторов найти новые вектора из них собрать матрицу потом привести к виду A|B и а сделать диагональной. В Б будет матрица перехода. Значит я не прав. :(

Дошло до дурака. Спасибо.

[Joker_vD]

Э, теорию-то учить надо. Если линейный оператор $\mathcal A$ имеет в базисе $e$ матрицу $A_e$, а в базисе $u$ — матрицу $A_u$, то они связаны следующим образом:

$$A_e=P_{e\to u}A_u P_{u\to e}\quad (*),$$

где $P_{e\to u}$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $u$. В самом деле, если вектор $\mathbf x$ имеет в базисах $e$ и $u$ координаты соответственно $x_e$ и $x_u$, то

$$(\mathcal A\mathbf x)_e=P_{e\to u}(\mathcal A \mathbf x)_u = P_{e\to u}(A_u x_u) = (P_{e\to u} A_u P_{u\to e})x_e.$$

Но с другой стороны, $(\mathcal A\mathbf x)_e=A_e x_e$, поэтому и верно написанное выше равенство $(*)$.