Существование гармонической функции

[Misorra]

Помогите, пожалуйста, с задачей:

Существует ли гармоническая в единичном шаре с центром в нуле в пространстве $\mathbb{R}^3$ положительная функция, такая что:

$$u(0, 0, 0) = 1, \quad u(0, 0, \frac12) = 10$$

Интуитивно понятно, что такой функции быть не может (в частности, из общего вида решения уравнения Лапласа в шаре). Так вот, хотелось бы получить совет, стоит ли проводить доказательство через общее представление решения или есть возможность воспользоваться каким-либо из свойств? Может быть, можно применить что-то вроде свойства среднего гармонической функции?

[ИСН]

У Вас гармоническая функция - это что? $x^2-y^2+1$ считается?

[Misorra]

ИСН
Гармоническая - в смысле решения уравнения Лапласа. Да, такая гармонической будет.

[Padawan]

Misorra в сообщении #581472 писал(а):

Интуитивно понятно, что такой функции быть не может (в частности, из общего вида решения уравнения Лапласа в шаре).

Поясните, пожалуйста.

Misorra в сообщении #581472 писал(а):

стоит ли проводить доказательство через общее представление решения или есть возможность воспользоваться каким-либо из свойств?

По-моему, без общего решения (формулы Пуассона) не обойтись.

[ИСН]

Следующий маленький шаг: а $32(z^2-x^2)+1$?

[Misorra]

ИСН
Гармонической будет, но положительность, увы, не соблюдается.

-- 06.06.2012, 16:52 --

Padawan
Для единичного шара общее решение будет представимо в виде:

$$u(\rho, \theta, \phi) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} {\rho^n Y_n(\theta, \phi)}$$

где $Y_n(\theta, \phi)$ - общие сферические функции.
Получается, что значение в центре шара однозначно определяет коэффициент функции $Y_0$. Чтобы положить функцию равной десяти в точке $(0, 0, \frac12)$, приходится рассматривать $\theta = 0, \quad \rho = \frac12$, что влечет за собой использование присоединенных функций Лежандра с комбинациями из $\cos(\theta)$, которые становятся отрицательными при $\theta > \frac{\pi}{2}$. Вот получается как-то так, что затруднительно выразить формально.

[ИСН]

ах, положительная. тьфу ты чёрт.
Так это правда, что ли?

[Misorra]

ИСН
По крайней мере, построить пример такой функции мне не удалось, так что есть подозрения, что это неправда.

[Padawan]

Misorra
Нет, я не это представление имел виду, а формулу Пуассона $u(x)=\int\limits_S P(x,y)d\mu(y)$, где $P(x,y)=\frac1{4\pi}\frac{1-|x|^2}{|x-y|^3}$ -- ядро Пуассона, а $\mu$ -- некоторая неотрицательная мера на единичной сфере $S$.

[Misorra]

Padawan
А что, если применить неравенства Гарнака? Получится, что в случае аналитичности неотрицательной $u(x,y,z)$ в единичном шаре, в шаре радиуса $r = \frac12$ она не будет превосходить $3$, что противоречит условию $u(0, 0, \frac12) = 10$.

[Padawan]

Misorra
Да, да, неравенство Гарнака. И то, что $\mu(S)=4\pi u(0)=4\pi$.