Помогите доказать замкнутость множества.

[egor.onuchin]

Голова ломается, когда пытаюсь это представить.
Доказать, что в метрическом пространстве сфера $S(x_0,r)=\{x:\rho(x,x_0)=r\}$ является замкнутым множеством.

[Joker_vD]

В принципе, достаточно доказать, что $\{x\colon \rho(x,x_0)>r\}$ — открыто.

[egor.onuchin]

А вот такая конструкция?
Пусть множества A и B метрического пространства компактны. Доказать из $A\cap B=\varnothing$ следует $\rho(A,B)>0$

[Dave]

Докажите, что это значение $\rho(A,B)$ достигается на каких-то конкретных точках.

[egor.onuchin]

Dave в сообщении #581331 писал(а):

Докажите, что это значение $\rho(A,B)$ достигается на каких-то конкретных точках.

Я не понял идею...

[Dave]

Возьмите определение $\rho(A,B)$, распишите его в терминах последовательностей и из него получите, что (в случае когда $A$ и $B$ - компакты метрического пр-ва) существуют такие точки $a \in A$ и $b \in B$, что $\rho(A,B)=\rho(a,b)$.

[Nemiroff]

egor.onuchin в сообщении #581328 писал(а):

Пусть множества A и B метрического пространства компактны. Доказать из $A\cap B=\varnothing$ следует $\rho(A,B)>0$

Ну так от противного, предположите, что расстояние нулевое. Далее последовательность, и поехали.

[Профессор Снэйп]

egor.onuchin в сообщении #581337 писал(а):

Я не понял идею...

Произведение компактов - компакт, функция, непрерывная на компакте, достигает максимума и минимума.

-- Пт июн 08, 2012 19:07:59 --

egor.onuchin в сообщении #581309 писал(а):

Доказать, что в метрическом пространстве сфера является замкнутым множеством.

Эта сфера - прообраз замкнутого (одноточечного) множества при непрерывном отображении.