Волновые функции ионизированного водорода

[10110111]

Известно, что для радиальных волновых функций электрона в атоме водорода в адиабатическом приближении есть уравнение (обезразмеренное) $\frac{\partial^2 \psi(r)}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial \psi(r)}{\partial r}-\frac{l(l+1)}{r^2}\psi(r)+\frac{2}{r}\psi(r)-2\varepsilon \psi(r)=0$.
Его решение обычно представляется в виде произведения затухающей экспоненты и обобщённых полиномов Лагерра. Однако в таком виде фигурирует квантовое число n, которое, меняясь от 1 до бесконечности, описывает только связанные состояния электрона.

А как описать состояние электрона ионизированного атома? Не получатся ли при этом вообще неограниченные на бесконечности функции?

[Munin]

Да, именно. ЛЛ-3 § 33 самый конец, со слов "В некоторых задачах (в теории рассеяния) приходится рассматривать волновые функции, не удовлетворяющие обычным условиям конечности..." Ландау малость лукавит: теория рассеяния - полноценная часть квантовой механики, а свободные состояния (непрерывный спектр) не менее важны, чем связанные (дискретный спектр). Глубже и обширнее - Мессиа 1 том, главы 9-11.

[10110111]

Спасибо.

P.S.:

Цитата:

Видимый свет - 4,2-8,0 эВ.

Чё-то тут в ~2 раза завышена энергия кванта ;)

[ewert]

10110111 в сообщении #580956 писал(а):

Не получатся ли при этом вообще неограниченные на бесконечности функции?

Нет, не получатся.

Munin в сообщении #580965 писал(а):

ЛЛ-3 § 33 самый конец, со слов "В некоторых задачах (в теории рассеяния) приходится рассматривать волновые функции, не удовлетворяющие обычным условиям конечности..."

ЛЛ в этом месте имеют в виду другую конечность -- в начале координат.

[Munin]

10110111 в сообщении #580976 писал(а):

Чё-то тут в ~2 раза завышена энергия кванта ;)

Кошмар, неужели я ошибся. Спасибо, вы первый за много лет заметили :-) А остальные числа?

-- 05.06.2012 12:29:08 --

ewert в сообщении #581011 писал(а):

Нет, не получатся.

Да, я не подумал, там только экспонента затухающая исчезает. Сами функции всё равно ограниченные (в любой задаче рассеяния, в т. ч. одномерной, кажется), а в 3-мерном случае ещё и затухающие, по причине того, что плотность потока должна падать с радиусом как $1/R^2.$

[10110111]

А есть ли какие-нибудь точные аналитические выражения для собственных состояний сплошного спектра в кулоновском потенциале?

Цитата:

А остальные числа?

Остальные в порядке :)

[Ilia_]

10110111 в сообщении #581126 писал(а):

А есть ли какие-нибудь точные аналитические выражения для собственных состояний сплошного спектра в кулоновском потенциале?

Да, конечно. Через гипергеометрическую функцию. См. параграф 36 ЛЛ3, часть "Непрерывный спектр".