Автоморфизм

[ole-ole-ole]

Автоморфизм $A\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ задан в стандартном базисе пространства $\mathbb{R}^3$ матрицей $A$.

1) Найти спектр \sigma(A) автоморфизма $A$;
2) Найти собственные векторы автоморфизма $A$ и доказать, что $A$ является оператором скалярного типа;
3) Найти собственные подпространства автоморфизма $A$;
4) Привести матрицу $\mathbf{A}$ автоморфизма $A$ к диагональному виду, при этом указать матрицу $\mathbf{T}$ перехода к новому базису;
5) Проверить явным вычислением (через преобразования подобия с матрицей $\mathbf{T}$), что вид матрицы автоморфизма в новом базисе действительно диагональный;
6) Написать выражения для спектральных проекторов автоморфизма $A$, а также записать вид спектральной теоремы для него;
7) Вычислить указанные функции от оператора A\colon\, f_1(A)=\cos^2A\,;~f_2(A)=\log_2A.

A=\begin{pmatrix}-10&-4&0\\-4&2&0\\0&0&8\end{pmatrix}


-------------------------------------

1) Найти спектр \sigma(A) автоморфизма $A$;

\begin{vmatrix}-10-\lambda&-4&0\\-4&2-\lambda&0\\0&0&8-\lambda\end{vmatrix}=(8-\lambda)((1+\lambda)(\lambda-2)-16)=0

\lambda_1=8

(1+\lambda)(\lambda-2)-16=\lambda^2+8\lambda-36=0

\lambda_2=-4+2\sqrt{13}\;\;\;\;\;\;\;\lambda_3=-4-2\sqrt{13}

Вот такие собственные числа. Для чисел с корнями не получается найти собственных векторов...Может я ошибся на ровном месте?

2) Для \lambda_2=-4+2\sqrt{13} получаем, что

$\begin{pmatrix}-10+4-2\sqrt{13}&-4&0\\-4&2+4-2\sqrt{13}&0\\0&0&8+4-2\sqrt{13}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-6-2\sqrt{13}&-4&0\\-4&6-2\sqrt{13}&0\\0&0&12-2\sqrt{13}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-3-\sqrt{13}&-4&0\\-2&3-\sqrt{13}&0\\0&0&6-\sqrt{13}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Как тут дальше избавиться от корней?

[arseniiv]

Если они там действительно должны быть — никак не надо, решайте дальше как обычно.

Кстати, вы последнюю строку могли поделить не на 2, а сразу на $12 - 2\sqrt{13}$.

-- Пн июн 04, 2012 02:26:02 --

Да, корни должны быть.

[ole-ole-ole]

arseniiv в сообщении #580513 писал(а):

Если они там действительно должны быть — никак не надо, решайте дальше как обычно.

Кстати, вы последнюю строку могли поделить не на 2, а сразу на $12 - 2\sqrt{13}$.

И ещё $\sqrt3 \ne \sqrt{13}$.

-- Пн июн 04, 2012 02:26:02 --

Да, корни должны быть.

Спасибо, исправил ошибки. А как дальше?

$\begin{pmatrix}-3-\sqrt{13}&-4&0\\-2&3-\sqrt{13}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

[arseniiv]

Корни радикалы будут и в собственных векторах. Можете решать дальше.

ole-ole-ole в сообщении #580518 писал(а):

А как дальше?

А как вы СЛАУ решали?

Если корни радикалы мешают, обозначьте $-3-\sqrt{13} = a$ и $3-\sqrt{13}=b$ — может, такое чем-то упростит манипуляции.

(Или даже не $a$ и $b$, а $-4a$ и $-2b$.)

[ole-ole-ole]

$\begin{pmatrix}3+\sqrt{13}&4&0\\-2&3-\sqrt{13}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Домножим вторую строчку на $3+\sqrt{13}$

$\begin{pmatrix}3+\sqrt{13}&4&0\\-2(3+\sqrt{13})&-4&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3+\sqrt{13}&4&0\\3+\sqrt{13}&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3+\sqrt{13}&4&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Получилась совсем ерунда(

-- 04.06.2012, 00:05 --

arseniiv в сообщении #580521 писал(а):

Корни радикалы будут и в собственных векторах. Можете решать дальше.

ole-ole-ole в сообщении #580518 писал(а):

А как дальше?

А как вы СЛАУ решали?

Если корни радикалы мешают, обозначьте $-3-\sqrt{13} = a$ и $3-\sqrt{13}=b$ — может, такое чем-то упростит манипуляции.

(Или даже не $a$ и $b$, а $-4a$ и $-2b$.)

Уже поздно(( Я сделал по-другому, очевидно, что это неверно, но пока что не могу найти ошибку...

[arseniiv]

ole-ole-ole в сообщении #580518 писал(а):

$\begin{pmatrix}-3-\sqrt{13}&-4&0\\-2&3-\sqrt{13}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Оказывается, там не 4, а 2.

-- Пн июн 04, 2012 03:14:51 --

При делении строки на 2 забыли разделить и четвёрку.

[ole-ole-ole]

Собственные векторы получились:

$\vec x_1 =\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec x_2 =\begin{pmatrix}\sqrt 3 - 3\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec x_3 =\begin{pmatrix}\sqrt 3 + 3\\ 2 \\0 \end{pmatrix}$

arseniiv в сообщении #580540 писал(а):

ole-ole-ole в сообщении #580518 писал(а):

$\begin{pmatrix}-3-\sqrt{13}&-4&0\\-2&3-\sqrt{13}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Оказывается, там не 4, а 2.

-- Пн июн 04, 2012 03:14:51 --

При делении строки на 2 забыли разделить и четвёрку.

Все получилось, для второго и третьего вектора - тоже получится)

3) Значит собственное подпространство будет образовывать базис

$\vec x_1 =\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \beta_1 \\ \gamma_1 \end{pmatrix}\Big}$

$\vec x_2 =\begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2 \\ \gamma_2 \end{pmatrix}\Big}$

$\vec x_3 =\begin{pmatrix}\alpha_3\\ \beta_3 \\ \gamma_3 \end{pmatrix}\Big}$

-- 04.06.2012, 00:28 --

4) Можно ли сразу сказать, что $\mathbf{T} = \begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{pmatrix}$

?

-- 04.06.2012, 00:30 --

А как вот это делать? Что подразумевается под преобразованиями подобия?

Цитата:

5) Проверить явным вычислением (через преобразования подобия с матрицей $\mathbf{T}$), что вид матрицы автоморфизма в новом базисе действительно диагональный

[ole-ole-ole]

Вот так получилось, точнее

$\vec x_1 =\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec x_2 =\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{13}+3\\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec x_3 =\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{13}+3\\ 0 \end{pmatrix}$

Сверил с вольфрамом, совпало (только я чуть красивее записал). http://www.wolframalpha.com/input/?i=ei ... %2C8%7D%7D

Подскажите, пожалуйста - как дальше делать...

Где можно почитать про функции от оператора на простом языке?

[arseniiv]

Лучше в учебнике, но я в учебниках линейной алгебры не разбираюсь. Днём точно кто-нибудь напишет!

[ole-ole-ole]

arseniiv в сообщении #580566 писал(а):

Лучше в учебнике, но я в учебниках линейной алгебры не разбираюсь. Днём точно кто-нибудь напишет!

Спасибо. А разве оператор $A$ является оператором скалярного типа? Что не похоже совсем. Я так понимаю, что оператор скалярного типа должен иметь матрицу скалярного типа. А разве здесь матрица скалярного типа?

[AV_77]

Под скалярным здесь понимается диагональный вид.
Матрица перехода, которая $T$, диагональной скорее не будет.

[ole-ole-ole]

AV_77 в сообщении #580778 писал(а):

Под скалярным здесь понимается диагональный вид.
Матрица перехода, которая $T$, диагональной скорее не будет.

А почему $T$? Линейный эндоморфизм с простым спектром является диагонализируемым (А у данного Автоморфизма - спектр - простой). (про это написано на 242 странице здесь http://window.edu.ru/resource/463/54463 ... in2008.pdf)

4) Имеется ввиду, что нужно написать, что $A=T^{-1}A'T$ ?

$T$ - матрица из собственных векторов. А важно ли в каком порядке ставить эти вектора или нет?

Как примерно вычислять функцию от оператора. Где можно об этом почитать?

[ole-ole-ole]

Может, в 6) нужно разложить в такой ряд? $A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\dots+\lambda_m P_{\lambda_m}$?