Дисперсия нормального распределения

[evolventa]

Здравствуйте! Я пытаюсь вывести, чему равна дисперсия нормального распределения, но почему-то не сходится с тем, что должно получиться! Никак не могу найти ошибку :( Спасибо заранее за помощь!

$D(x)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^2\cdot {f(x)} dx = {\frac 1 {\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^2\cdot {e^\frac{-(x-m)^2}{2\sigma^2}}dx$

Это просто из определений. Дальше решаем:

$t=\frac {x-m}{\sqrt{2}\cdot\sigma}$

$dt=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx$

$\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}(\sqrt{2}\cdot\sigma\cdot t +m-m)^2\cdot e^{- t^2} dt = \frac{1}{\sqrt \pi}\cdot2\cdot\sigma^2\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{t^2\cdot e^{-t^2}} dt$

Рассмотрим интеграл. Замена переменной:

$u=t^2$
$du=2tdt$
$dv=e^{-t^2}dt$
$v=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-t^2}}dt=\sqrt \pi $ (Интеграл Эйлера-Пуассона)

Наш интеграл равен:

$t^2\cdot\sqrt \pi \bigg|_{-\infty}^\infty - \sqrt\pi\cdot\int_{-\infty}^{\infty}2tdt=0$

Получается 0, хотя должно быть $\sigma^2$
Пожалуйста, посмотрите, где я ошиблась?

[ИСН]

Бесконечность туда, бесконечность сюда, всё сократилось и ещё Вы должны сто рублей.
Хорошо ли это - так обращаться с бесконечностями?

[--mS--]

evolventa в сообщении #580313 писал(а):

$dv=e^{-t^2}dt$
$v=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-t^2}}dt=\sqrt \pi $ (Интеграл Эйлера-Пуассона)

Вот здесь. Проверьте дифференцированием.

evolventa в сообщении #580313 писал(а):

$t^2\cdot\sqrt \pi \bigg|_{-\infty}^\infty - \sqrt\pi\cdot\int_{-\infty}^{\infty}2tdt=0$
Пожалуйста, посмотрите, где я ошиблась?

И ещё вот здесь. С чего бы последний интеграл ноль? Он вообще не существует.

[evolventa]

--mS-- в сообщении #580345 писал(а):

evolventa в сообщении #580313 писал(а):

$dv=e^{-t^2}dt$
$v=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-t^2}}dt=\sqrt \pi $ (Интеграл Эйлера-Пуассона)

Здесь интеграл должен быть несобственный. Но тогда он неберущийся! :(

А в последнем ведь из-за разности всё сократится!
Вот вычитаемое:

$-\sqrt\pi\cdot\int_{-\infty}^{\infty}2tdt = -2\sqrt\pi\cdot\frac{t^2}{2}\bigg|_{-\infty}^{\infty}$

[arseniiv]

$\ldots = -\infty -\infty = ?$

-- Вс июн 03, 2012 22:40:33 --

А если бы бесконечности были разного знака, тогда предела и на $\mathbb R \cup \{\pm\infty\}$ не было бы, а не «сократилось».

[AlexValk]

Разберетесь с тем, что величина $v$ оказывается у Вас постоянной. Это и неверно.
Если все поправить, то выбранный Вами путь интегрирования по частям оказывается неэффективным - возникает интеграл, содержащий в подынтегральном выражении спецфункцию ${\rm erf}$ (интеграл вероятностей или функция ошибок).

Стандартный путь:
Стартуем с $\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-t^2}}dt=\sqrt \pi $. Заменой переменной отсюда находим $I(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-t^2\alpha}}dt$ при $\alpha>0$. Затем вычисляем производную $ I'(\alpha)$ и в ответе полагаем $\alpha=1$.

[--mS--]

Это - нестандартный путь. Стандартный - внести под дифференциал $e^{-t^2}$. Делается это так: $de^{-t^2}=-2t e^{-t^2}\,dt$.