Проверьте пжл решение задачи по терверу

[DTF]

Есть колода из десяти карт, они пронумерованы от 0 до 9. Из колоды случайным образом вытаскивают 3 карты. Найти мат. ожидание суммы номеров на этих картах.


Хочу проверить свое решение, а то внутренний голос подсказывает, что оно кривое.

Итак, пусть $M_1, M_2, M_3$ - мат. ожидание величины цифры на карте после первого, второго и третьего вытаскиваний соответственно.

Пусть $S = 45$ - сумма номеров всех карт.
Тогда:
$M_1 = \frac{S}{10} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$

$M_2 = \frac{S - M_1}{9} = \frac{S - \frac{S}{10}}{9} = \frac{\frac{9S}{10}}{9} = \frac{S}{10} = M_1$

$M_3 = \frac{S - M_1 - M_2}{8} = \frac{9\frac{S - M_1}{9} - M_2}{8} = \frac{9M_2 - M_2}{8} = M_2 = M_1$

Итого получаем для ответа $M_1 + M_2 + M_3 = 3\frac{9}{2} = \frac{27}{2}$


Меня смущает то, что все мат. ожидания получаются одинаковыми - как-то странно это. Да и в способе вычисления мат. ожиданий начиная со второго не уверен....

[Yu_K]

А давайте все десять карт вытащим и Вашим способом матожидание посчитаем - что получится?

[DTF]

Yu_K в сообщении #580277 писал(а):

А давайте все десять карт вытащим и Вашим способом матожидание посчитаем - что получится?

Дык получится $10\cdot\frac{9}{2} = 45$, т.е. как и должно быть :)

Я не понимаю иронии, если мой способ неправильный - укажите, если не сложно, в чем именно.

[--mS--]

Всё правильно, только исходить стоило, наверное, из случайных величин (номеров), а не из их матожиданий. Номера на 1, 2, 3 картах одинаково распределены. Поэтому нет нужды отдельно считать второе и третье матожидание. Эти номера принимают значения от 0 до 9 с равными вероятностями. Поэтому $\mathsf EX_i=\frac{1}{10}(0+1+\ldots+9)=\frac92$, где $i=1,2,3$. И $\mathsf E(X_1+X_2+X_3)=3\cdot \frac92$.

[DTF]

А почему нет нужды считать?
Ведь после того, как мы вытащили очередную карту,
меняется случайная величина, задающая вероятности появления значений
на других картах.

Т.е. тут же не независимые случайные величины....
Если бы у нас было 10 одинаковых колод, и из каждой тащили бы по одной карте - тогда вроде очевидно.. но здесь-то другой случай...

Не понимаю, в общем...

[--mS--]

А про независимость и речи нет. Разумеется, величины зависимые. Но при этом одинаково распределенные: при вытаскивании трёх карточек что на первом, что на втором, что на третьем месте может встретиться любая цифра из 10 с равной вероятностью.

[Yu_K]

DTF
Никакой иронии абсолютно. Мне кажется подозрительным почему-то Ваш способ - пытался подобрать тест, что бы его проверить. Хорошо что все получилось.

Можно просто по определению посчитать матожидание хотя бы для двух чисел - дедовским способом. И для проверки можно взять колоду поменьше - три или четыре карты.

0+1+2+3 = 6 общая сумма. МО = 6/4 для одной карты.

Далее выбираем варианты по две карты
32 21 10
31 20
30

Здесь всего 12 вариантов - но можно посчитать полную сумму для половины вариантов 5+4+3+3+2+1=18 - получим матожидание 18/6 =3.

Если выбираем по 3 карты - то имеем варианты

321
320
310
210

всего 4 варианта (перестановки не учитываем) - сумма 6+5+4+3 =18 и следовательно матожидание равно 18/4.

Вот как то так. Может я ошибаюсь.

[--mS--]

Гланды автогеном. Чем только не готовы заняться люди вместо того, чтобы выяснить простую истину: математическое ожидание суммы - зависимых, независимых, по барабану! - случайных величин есть сумма их матожиданий.

[DTF]

--mS-- в сообщении #580387 писал(а):

А про независимость и речи нет. Разумеется, величины зависимые. Но при этом одинаково распределенные: при вытаскивании трёх карточек что на первом, что на втором, что на третьем месте может встретиться любая цифра из 10 с равной вероятностью.

Спасибо, вроде понял.

Yu_K в сообщении #580400 писал(а):

Можно просто по определению посчитать матожидание хотя бы для двух чисел - дедовским способом. И для проверки можно взять колоду поменьше - три или четыре карты.

Это понятно, но ведь нужно-то строгое доказательство общего случая...
Если в колоде из четырех карт все сходится, не факт, что сошлось бы в задаче.
(в моем способе тоже не самое общее доказательство, но там проглядывается возможность применить индукцию)