Элементарное значение и дифференциал

[mark_sandman]

Например, я хочу написать элементарную работу электрического поля по перемещению пробного заряда. Мне нужно использовать символ дифференциала

$$dA=Fdr$$

или символ элементарного значения

$$\delta A=Fdr$$

?

Будет ли ошибкой вместо символа элементарного значения писать символ дифференциала?

Потом, когда нужно будет найти полную работу, я буду интегрировать это значение, т.е обращаться с формулой так, как будто я использую дифференциал.

Но в учебниках почему-то в этом случае всегда используют символ элементарной величины.

Есть подозрение, что отличия никакого нет, но чем же тогда мотивировано введение символа $\delta $?

[BasilKrzh]

Работа не является полным дифференциалом, т.к. зависит от "формы пути", т. е. равенство

$$\int_{1}^{2}\delta A_{1} = \int_{1}^{2}\delta A_{2} $$

вовсе не означает, что система при переходе из состояния 1 в состояние 2 изменилась одинаково в первом и втором случае. Хотя, наверное, в потенциальном поле разницы нет.

[mark_sandman]

Для частного дифференциала есть специальный символ, круглое d. Здесь символ другой. Почему?

[BasilKrzh]

Так, ещё раз. Это не частный дифференциал по одной переменной (если эта переменная $x$, то символ d_{x}), а обозначение бесконечно малого приращения величины, не являющейся полным дифференциалом. Дело в том, что значение полной работы будет зависеть от того процесса, который вы провели, а не только от начального состояния и конечного. Поэтому не зная процесса (пути интегрирования), вы не можете сказать, какова элементарная (а значит и полная) работа. Ну а вообще, хорошо бы узнать интегрирование формы...

-- 03.06.2012, 00:09 --

Кстати, это вы не правы, если будете "обращаться с формулой так, как будто я использую дифференциал". Для полного дифференциала: $\int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} dS = S(\phi_{2}) - S(\phi_{1}) (где \phi - "состояние" системы (точка в фазовом пространстве), а от \phi_{1} до \phi_{2} - любой из путей (в фазовом пространстве)), а для $\int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} \delta A так написать нельзя, путь имеет определяющую роль

-- 03.06.2012, 00:12 --

Другое дело, что при известном процессе (пути) работа обычно представима в виде полного дифференциала. А в хороших случаях (когда поле потенциально и работа не зависит от формы пути) даже знание процесса не нужно, что даёт возможность ввести потенциальную энергию.

[type2b]

Разница между этими двумя символами следующая: дифференциал -- понятие, определенное для функций. Т.е. если у вас есть набор переменных и функция этих переменных, то приращение функции при изменении аргументов обозначается дифференциалом. Если же есть какая-то величина, которая задана не как функция фиксированного набора переменных, то пишут $\delta$.
Работа не является функцией точки, поэтому нехорошо писать $d$. А потенциальная энергия -- является, поэтому для нее так писать можно.
Если поле потенциально, и задана начальная точка, то работа становится функцией конечной точки, и тогда, с этой оговоркой, можно писать $d$.

[mark_sandman]

BasilKrzh
type2b
Огромное спасибо, всё стало ясно.

Цитата:

приращение функции при изменении аргументов обозначается дифференциалом

Если быть точным, линейная часть приращения