Камень и тень

[neo66]

Есть выпуклый камень и солнце находится в зените. Доказать, что камень можно расположить так, что площадь тени будет не меньше $1/4$ площади поверхности камня.

[Юстас]

Глупость удалена =)

[juna]

Шар при равном объеме имеет минимальную площадь поверхности из всех фигур. Для шара это отношение в точности 1/4. Значит, остальные фигуры можно так повернуть, чтобы проецировалась часть поверхности, большая той, которая проецируется у шара.

[Руст]

Однако это не ничего не доказывет. Речь идёт о проекции на какое то направление.
Хотя мысль в нужном направлении.

[juna]

Солнце в зените на экваторе

[Руст]

Это тоже ничего не говорит.

[Yntz]

Надо закрыть камнем глубокую ямку

[neo66]

Неужели никаких идей по существу?

[worm2]

Вот решение в лоб, с применением тяжёлой артиллерии. Рассуждения не совсем строгие:

(1) Окружим камень равномерно светящейся сферой "достаточно большого радиуса". Пусть камень поглощает весь падающий на него свет от сферы. Положим, что бесконечно малая плоская фигура площадью s получает от участка сферы с бесконечно малым телесным углом ds стерадиан, находящегося в зените для фигуры, количество света, равное $s ds$.

(2) Тогда, если участок сферы с бесконечно малым телесным углом ds стерадиан расположен для фигуры под углом $\psi$ к зениту, получаемое количество света равно $s |\cos\psi| ds$.

(3) Вводя на сфере сферические координаты ($\phi$, $\psi$), 0 $\leqslant$ $\phi$ < $2\pi$, 0 $\leqslant$ $\psi$ $\leqslant$ $\pi$, имеем: $ds = \sin\psi d\phi d\psi$.

(4) Ограничимся пока случаем гладкой поверхности. Из выпуклости камня следует, что из каждой точки его поверхности (а значит, из её бесконечно малой окрестности площадью s, которую можно считать плоской) видна ровно половина сферы. По (2), (3) количество света, падающего на эту окрестность, получается интегрированием по этой полусфере: $s \int\limits_{\phi=0}^{2\pi}\int\limits_{\psi=0}^{\pi/2} \sin\psi|\cos\psi| d\phi d\psi$ = $\pi s$. Соответственно, количество света, падающего на весь камень, равно $\pi S_p$, где $S_p$ --- площадь поверхности камня.

(5) С другой стороны, можно считать, что поглощённый камнем свет из конкретной точки сферы поглощается его тенью, т.е. его проекцией на плоскость, перпендикулярную направлению на эту точку сферы. Обозначим площадь этой тени для конкретного направления $(\phi, \psi)$ через $S(\phi, \psi)$. По (1) и (3) количество света, поглощённого из бесконечно малой области по направлению $(\phi, \psi)$, равно $S(\phi, \psi) \sin\psi d\phi d\psi$. Общее количество поглощённого камнем света получается интегрированием по всей сфере: $\int\limits_{\phi=0}^{2\pi}\int\limits_{\psi=0}^{\pi} S(\phi, \psi) \sin\psi d\phi d\psi$, что по (4) равно $\pi S_p$.

(6) Если бы для всех $(\phi, \psi)$ выполнялось $S(\phi, \psi)$ < $0.25 S_p$, то, подставляя это неравенство в интеграл из (5), получаем, что он меньше $\pi S_p$. Противоречие.

(7) Ну и напоследок приближая негладкий камень последовательностью гладких и переходя к пределу, получаем, что утверждение верно и для него. $\qed$.

Однако есть подозрение, что существует гораздо более изящное решение.

[neo66]

Не знаю, насколько это решение более изящно. Оно, примерно, в том же направлении. Я рассуждал следующим образом.
Приблизим камень выпуклым многогранником. Пусть $S_i, i=1,..n$ - $i$-я грань. Ввведем сферические координаты $\phi,\psi$, показывающие положение камня. Пусть площадь тени будет $T(\phi,\psi)$, а площадь тени от $i$-ой грани $S_i(\phi,\psi)=S_i\cos(\psi)$. Проинтегрируем по всем направлениям, т.е. по полусфере $0\leqslant \phi < 2\pi,0 \leqslant \psi \leqslant \pi/2$. Поскольку камень выпуклый в каждую внутреннюю точку тени проецируется ровно 2 точки поверхности. Поэтому

$2\int\limits_{\phi=0}^{2\pi}\int\limits_{\psi=0}^{\pi/2} T(\phi, \psi) \sin\psi d\phi d\psi$ = $\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\phi=0}^{2\pi}\int\limits_{\psi=0}^{\pi/2} S_i(\phi, \psi) \sin\psi d\phi d\psi= S\int\limits_{\phi=0}^{2\pi}\int\limits_{\psi=0}^{\pi/2} cos(\psi)\sin\psi d\phi d\psi=\pi S$;
По теореме о среднем существует такая точка $(\phi_0,\psi_0)$, что
$2T(\phi_0,\psi_0)\int\limits_{\phi=0}^{2\pi}\int\limits_{\psi=0}^{\pi/2} \sin\psi d\phi d\psi=4\pi T(\phi_0,\psi_0)=\pi S$ или $4 T(\phi_0,\psi_0)= S$, что и требовалось доказать.

[Юстас]

Мне кажется, максимальная площадь тени есть максимальная площадь сечения, верно?(для выпуклых тел)

[neo66]

Юстас писал(а):

Мне кажется, максимальная площадь тени есть максимальная площадь сечения, верно?(для выпуклых тел)

Неверно, например, для правильного тетраэдра.