Ускоряемый зонд

[Omega]

Вот есть такая задача, помогите:
Пусть планета массой $M$ вращается вокруг Солнца по приблизительно круговой орбите со средним радиусом $R$.
Космический зонд массой $m$ пролетает вблизи планеты (для упрощения положить, что траектория зонда полностью лежит в плоскости орбиты планеты и то, что зонд находится в области пространства, в которой притяжение планеты превосходит все остальные гравитационные силы). В системе отсчета, связанной с Солнцем скорость зонда равна $v_{0}$, а скорость планеты равна $V $(см. рисунок 1).Также считайте, что $x-$координата зонда больше $x-$координаты планеты в момент, когда их $y-$координаты равны.

Найдите полный угол отклонения зонда $\theta$ и конечную скорость зонда $v$ в системе отсчета,связанной с Солнцем, если известен прицельный параметр $b$ (см. рисунок 2).
.

[Munin]

(Оффтоп)

Рис. 2 немножко вводит в заблуждение, нарисованная на нём горизонтальная прямая - не та же прямая, что и горизонтальная прямая на рис. 1, в смысле не должна идти в том же направлении. Лучше было бы немного повернуть рис. 2.

А чем, собственно, задача отличается от Кеплеровой (просто в движущейся СО, ну так прицельный параметр задан в СО центра притяжения)? И что можно и нельзя использовать при решении?

[Omega]

Рисунок 2 это просто иллюстрация к прицельному параметру.

Munin в сообщении #579770 писал(а):

И что можно и нельзя использовать при решении?

В каком смысле?

[Munin]

Omega в сообщении #579778 писал(а):

Рисунок 2 это просто иллюстрация к прицельному параметру.

Тогда. а что такое прицельный параметр на рис. 1? Смысл прицельного параметра как параметра - это то, что он не зависит от момента времени. А на рис. 1 центр притяжения движется.

Omega в сообщении #579778 писал(а):

В каком смысле?

Ну, заглянуть в ЛЛ-1, и срисовать решение задачи Кеплера можно?

[Omega]

Да, да вышло бы побыстрее.

[dovlato]

Тут в качестве малого параметра, наверное - характерные расстояния зонда от планеты, по сравнению с радиусом орбиты планеты.

[Omega]

Уравнение гиперболы в полярных координатах:

$$\frac{1}{r}=\frac{e \cos{\varphi}+1}{p};e=\sqrt{1+\left(v'^{2}-\frac{2G M}{l_{0}}\right) \cdot \left(\frac{v'b}{G M}\right)^{2}};p=\frac{(v' b)^{2}}{GM} \Rightarrow $$

$$\frac{1}{r}=\left(\frac{GM}{(v' b)^{2}} \right) \cdot \left(1+\sqrt{1+\left(v'^{2}-\frac{2G M}{l_{0}}\right) \cdot \left(\frac{v' b}{G M}\right)^{2}} \cos{\varphi} \right)$$

Если $r \rightarrow \infty$,тогда $\varphi \rightarrow \varphi_{0}$ (см. рисунок 3) $\Rightarrow$

$$1+\sqrt{1+\left(v'^{2}-\frac{2G M}{l_{0}}\right) \cdot \left(\frac{v' b}{G M}\right)^{2}} \cos{\varphi_{0}}=0$$

Пусть зонд прилетел из далека, то есть $l_{0} \rightarrow \infty$, тогда

$$\varphi_{0_{1,2}}=\pm \left(\pi - \arccos{\frac{1}{\sqrt{1+\left (\frac{v'^{2} b}{GM} \right)^{2}}}} \right)$$

И тогда опять же исходя из рисунка 3

$$\theta=(\varphi_{+}-\varphi_{-})- \pi=\pi - 2\arccos{\frac{1}{\sqrt{1+\left (\frac{v'^{2} b}{GM} \right)^{2}}}}$$

$v'$ - по-моему, этой скоростью должна быть скорость зонда в системе отсчёта Юпитера ($v'=\sqrt{V^{2}+v_{0}^{2}}$)


Проверьте пожалуйста.

[Omega]

Написал: "в системе отсчёта Юпитера".Юпитера потому, что изначально в условиях планетой был Юпитер.(Задача с межд-ой физ. олимпиады 1999)