Описанный четырёхугольник

[Atmaks]

Доказать, что из всех четырёхугольников, описанных вокруг данного круга радиуса $R$, наименьшую площадь имеет квадрат.
Площадь описанного четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{R}{2} (A_1 + A_2 + A_3 + A_4)$, где $A_1,A_2,A_3,A_4$ - его стороны. Так как $R$ постоянно, то площадь зависит только от полупериметра. Обозначим углы четырёхугольника как $\alpha, \beta, \delta, \gamma$. Отрезок, соединяющий вершину четырёхугольника с центром окружности, есть биссектриса угла четырёхугольника. Радиусы перперндикулярны касательным. Тогда касательную можно выразить как произведение радиуса на котангенс половины соответствующего угла. Всего в четырёхугольнике по 2 касательных у каждой из вершин, поэтому можно представить полупериметр как сумму $R\ctg{\frac{\alpha}{2}} + R\ctg{\frac{\beta}{2}} + R\ctg{\frac{\delta}{2}} + R\ctg{\frac{\gamma}{2}} $. Видим, что полупериметр, в свою очередь, зависит только от суммы котангенсов.
Что теперь посоветуете? Попробовал применить метод множителей Лагранжа, используя в качестве условия связи то, что сумма углов равна $2\pi$. Производные равны нулю как раз при углах в $\frac{\pi}{2}$, но второй дифференциал получается не определённым знаково. Если надо, могу написать выкладки.

[Профессор Снэйп]

На самом деле, метод множителей Лагранжа даст локальный экстремум, который не факт что будет глобальным.

Я бы остановился на минимизации периметра и попробовал метод вариаций. Ну, то есть показываем, что если описанный четырёхугольник не квадрат, то можно слегка сдвинуть его вершины так, чтобы четырёхугольник остался описанным вокруг той же самой окружности, но его периметр стал бы меньше.

[Atmaks]

Почему не факт? Если он будет один, значит он и глобальный (при условии связи).

Попробовал вашу идею, очень интересно. Похоже, что надо думать именно в этом направлении. Если четырёхугольник - не квадрат, то у него найдётся сторона, которая делится точкой касания не пополам. Повернём слегка эту сторону так, чтобы точка касания приблизилась к середине, а остальные стороны остались параллельными сами себе. Очень похоже, что периметр уменьшается.

[Алексей К.]

$A_1+A_3=A_2+A_4$.

[Atmaks]

Спасибо всем за помощь. Вроде решил.