Ограниченность всех траекторий, исходящих из шара

[Nimza]

Динамическая система имеет вид

$$ \dot x = f(x), $$

где $x \in \mathbb{R}^{n}$, $f(x)$ достаточно гладкая. Известно, что $x = 0$ асимптотически устойчиво и это глобальный аттрактор. Как показать, что объединение всех траекторий, исходящих из любого шара $|x| \leqslant R$ ограничено?

Я пробовал от противного. Пусть $t_{n}$ - последовательность времён, $x^{0}_{n}$ - последовательность стартовых точек и $|x(t_{n};x^{0}_{n})| \to \infty$. Здесь можно выделить сходящиеся подпоследовательности по стартовым точкам и по временам (здесь возможен бесконечный предел). Дальше я бы воспользовался непрерывностью от начальных данных, но предел надо брать одновременно по $t_{n}$ и по $x^{0}_{n}$, мне не очевидно, почему он существует и совпадает с повторным (сперва по стартовым точкам, потом по временам, например).

[Хорхе]

Идея правильная, я б тоже так доказывал. Сначала доказываем, что последовательность моментов времени ограничена. Действительно, в противном случае существует последовательность начальных значений $x_0^n\to x_0$ и последовательность моментов $t_n\to\infty$ т.ч. $|x(t_n,x_0^n)|=R$. И там получаем противоречие со сходимостью стартующего из $x_0$ решения к нулю, поскольку $f$ достаточно гладкая. Дальше еще более простое противоречие, так как из моментов времени теперь можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Если меня нигде не проглючило, мы доказали не только ограниченность, но даже равномерную по начальному условию сходимость к нулю.

[Nimza]

Да, выделили сходящуюся последовательность времён и начальных точек. У меня проблема была с тем, откуда следует, что в $|x(t_{n};x_{0}^{n})|$ можно перейти к пределу? Непрерывность по паре $(t;x_0)$ откуда следует? По отдельности по каждой переменной она есть.

[Хорхе]

Nimza в сообщении #579639 писал(а):

Непрерывность по паре $(t;x_0)$ откуда следует? По отдельности по каждой переменной она есть.

С этим проблемы нет. В моем рассуждении, на самом деле, действительно есть серьезная дыра, но в другом месте -- в первой части противоречия не получается, так как там, вдали, решения могут расходиться очень далеко.

[Nimza]

Хорхе в сообщении #579651 писал(а):

С этим проблемы нет.

Откуда это получить? Есть какая-либо теорема о непрерывной зависимости решения от времени и начальных данных в совокупности?

[Хорхе]

Ну если с непрерывностью по начальному условию Вы согласны, то смотрите: вот взяли момент $t$ и какое-то начальное условие. Решения, стартующие вблизи этого начального условия, будут в момент $t$ в какой-то малой окрестности $U$. Но они и в близкие моменты будут равномерно рядом, так как производная у них - это $f$, а она в этой самой окрестности $U$ ограничена.

[Nimza]

Точно, тут локальная ограниченность $f$ решает проблему. Спасибо. Правда если $t_{n} \to \infty$, у меня пока не получается найти противоречия.