О моделировании СМО на бесконечности

[Munuvonaza]

Настоящая тема посвящена вопросу моделирования системы массового обслуживания (СМО), и сопоставления оценок имитационного моделирования с аналитическими расчетами, и конечно же поведением моделируемой системы в реальном мире; В процессе решения одной практической задачи выяснилось, что моделирования достаточно простых СМО может давать неочевидные результаты, не согласующиеся с наблюдением и интуицией

Имеются весьма простые исходные данные, в том виде как они были заданы в оригинальной задаче: пусть есть двухканальная СМО, в нее приходят заявки в соответствии с экспоненциальным законом и интенсивность l=5 минут в минус первой степени, и обрабатываются также в соответствии с экспоненциальным законом с интенсивностью l=4 минут в минус первой степени; В системе может образовываться очередь, вплоть до 5 заявок, которые обслуживаются первым из освободившихся устройств; Необходимо найти все основные параметры этой СМО

Казалось бы, задача элементарная и тривиальная, кроме того оригинальное условие можно упростить, если заменить два канала обслуживания с l=4, на один канал обслуживания с l=8 соответственно; На первый взгляд заметно, что интенсивность обслуживания заявок значительно больше интенсивности их пребывания, из чего следует, что СМО значительную часть времени будет оставаться без нагрузки, и очередь практически не будет образовываться

В соответствии с условием, была сделана простенька программа для моделирования СМО, и сделаны соответствующий аналитические расчеты; В качестве времени моделирования было взято порядка 5000 минут, и полученные результаты средне сходились с аналитическим расчетом; После этого было предпринято решение увеличить время моделирования до 50000 минут, и многие показатели разумеется приблизились к аналитическим информационным полям, однако далее было обнаружено особенное явление

Конкретно, среднее время пребывания заявки в очереди становилось числом, в десятки тысяч раз превышающим аналитическое значение; Все было бы понятно, если речь шла о максимальном времени ожидания в очереди: действительно, на бесконечности оно равно бесконечности, поскольку экспоненциальное распределение с вероятностью, близкой к нулю, может выдать очень крупное число; Тем не менее среднее значение времени ожидания в очереди, должно оставаться неизменным, и уточняться при увеличении времени моделирования, но это было явно не так

После недолгого исследования стало явно, что причиной такого эффекта является ограниченная длина очереди в СМО: если эту величину увеличить на несколько порядков, то эффект эскалации среднего времени ожидания обслуживания исчезал; Указанный эксперимент явно указывает на факт особенной фильтрации приходящих в СМО заявок, если очередь является конечной, и имеет низкий порядок

Указанное является объясняется достаточно просто: действительно, пусть в некоторый момент в СМО пришла заявка, которая будет обрабатываться 9999999999 минут; Вероятность такого события крайне мала, но со временем она увеличивается, и подобное событие происходит в имитационной модели; В то время, пока подобная заявка обрабатывается, все новые приходящие заявки, которые могут иметь время обработки, к примеру 0.0000000001 минуту, будут отвергнуты из-за превышения длины очереди, и не будут учитываться в финальном результате, вследствие чего среднее время ожидания в очереди резко возрастает

Итогом сказанного может служить факт, что расчет СМО, согласующийся с интуитивными результатами, может быть достигнуть только в случае бесконечной очереди, или ее превышения на порядки ассоциированных групп параметров СМО; Действительно, если очередь является неограниченной, но в ней с одинаковой вероятностью будут присутствовать очень маленькие и очень большие величины, являющиеся реализацией случайной величины времени ожидания в очереди, которые в среднем будут взаимно сокращаться, и давать ожидаемое значение

СМО с ограниченной очередью действуют так, что в истории появления заявок и их становлении в очередь, будут накапливаться только величины, смещенные в сторону бесконечности, поскольку противоположные им реализации случайной величины, близкие к нулю, будут отвергнуты из-за превышения длины очереди

Теперь внимание, вопрос: как правильно моделировать подобную СМО с ограниченной очередью, если параметр среднего ожидания заявки в очереди увеличивается линейно (Или даже более высокой скоростью роста) с увеличением времени моделирования? Очевидно, что в реальной жизни такая СМО будет в половину времени пустовать, в то время как модель предполагает ее полную загруженность…

[Munuvonaza]

Необходимо заметить, что подобный рассмотренный парадокс не проявляется явным образом, если использовать аналитическую, а не иммитационную модель: в ней возможно выведение выражения для среднего времени ожидания в ограниченной очереди к устройству обслуживания, которое очевидным образом не зависит от продолжительности моделирования СМО, поскольку для аналитической модели оно равно бесконечности

Тем не менее получается, что в случае с иммитационной моделью СМО, обеспечивается недостаточная обусловленность в терминах вычислительной математики, то есть расчет для среднего времени ожидания в ограниченной очереди к устройству обслуживания является случаной величиной, и не сходится к оценке из генеральной совокупности

Как возможные инженерные варианты решения поставленного вопроса, можно достаточно легко установить правило, ограничивающее максимальные и минимальные значения в оригинальном экспоненциальном распределении, в результате чего в масштабах выбранного времени СМО получит достаточную вычислительную обусловленность

[Munuvonaza]

Большая просьба к модераторам текущего раздела, перенести настояющую тему в Дискуссионный раздел, по той простой причине, что как такового оперативного решения задачи не требуется, поскольку она уже была решена мной в так сказать инженерном исполнении, и хотелось бы провести дискуссию относительно общих принципов моделирования бесконечных процессов, имеющих недостаточную обусловленность

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: ну извините, я просьбу не увидел. И летом был сильный дефицит модераторов.