Сколько решений в натуральных числах при данном натуральном
имеет уравнение
? Хитрость заключается в том, что решать нужно не в натуральных, а в
целых числах. Про

и ежу понятно. Что же касается ровно одного (если считать натуральные решения) нового решения, появляющегося с каждым увеличением

на

, то вот оно волшебное преобразование, дающее, начиная с пары

, новое решение на каждом шаге и доказывающее, что других новых решений нет:

Пара будет получаться всегда целой и нечётной, т.к. всегда

(это св-во и нечётность доказываются по индукции параллельно). Обратное преобразование

из каждого нечётного решения при

будет давать целочисленное и опять нечётное решение для

, нужно только правильно расставить знаки у

и

. К примеру, мы должны брать не пару

, а пару

. Существование нужной расстановки знаков показывается анализом по модулю

исходного уравнения.
Можно ли сами решения как-то выписать --- вопрос интересный.
А почему же нельзя? Как-нибудь через степени комплексных чисел. Или через синусы-косинусы.