Кол. прост. чисел между двумя соседними квадратами прост. чи

[Апис]

И так, сначала я буду говорить о количестве простых чисел на интервале

\[ \left( {p,n} \right)\]

Где (p) - простые числа, (n) - натуральные числа, . Зависимость между (p) и (n)

\[ p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]

Несколько изменим задачу и будем искать количество составных чисел. Количество простых чисел в дальнейшем найдём как разницу от общего количества, количества составных чисел.
Введём новое понятие – базисное число и базис.
Базисное число – простые числа и числа, имеющие множителями (без повторов) простые числа.
Базис от базисного числа – количество составных чисел, имеющие множителем, базисное число.
Если (n) количество чисел в интервале (0,n) тогда:

\[\tfrac{n}{2}\]

- базис от базисного числа 2

\[\tfrac{n}{3}\]

- базис от базисного числа 3

\[\tfrac{n}{6}\]

- базис от базисного числа 6

\[\tfrac{n}{5}\]

- базис от базисного числа 5

\[\tfrac{n}{{15}}\]

- базис от базисного числа 15 и.т.д.
Для определения количества простых чисел, от общего количества (n) отнимаем базис от 2 далее отнимаем базис от 3 и прибавляем базис от 6, что бы скомпенсировать повторы в базисах от 2 и от 3 и.т.д.

\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}\]

.....и.т.д.
Единица входит в количество простых чисел, так как она не присутствует ни в одном из базисов.

Двигаемся дальше:
Выражение

\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}\]

.... приведём к виду удобному для вычислений

\[ \begin{gathered} n - \tfrac{n} {2} - \tfrac{n} {3} + \tfrac{n} {6} - \tfrac{n} {5}(n - \tfrac{n} {2} - \tfrac{n} {3} + \tfrac{n} {6}) = \hfill \\ (n - \tfrac{n} {2} - \tfrac{n} {3} + \tfrac{n} {6})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ (n - \tfrac{n} {2}) - \tfrac{1} {3}(n - \tfrac{n} {2})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ (n - \tfrac{n} {2})(1 - \tfrac{1} {3})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ n(1 - \tfrac{1} {2})(1 - \tfrac{1} {3})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ n(\tfrac{1} {2})(\tfrac{2} {3})(\tfrac{4} {5}) \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ m_p = (\tfrac{1} {2})(\tfrac{2} {3})(\tfrac{4} {5})(\tfrac{6} {7}).....\tfrac{{p - 1}} {p} \]

\[ m_p = \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} \]

- рекуррентная формула для определения значения

\[ \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} \]

Исходя из выше изложенного, выводим общую формулу для определения количества простых чисел на интервале (p,n) -

\[m_p n\]

p – простые числа
n – натуральные числа

\[p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]

\[ m_p = \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} \]

Общая формула при вычислении количества простых чисел на интервале (p,n) даёт искомое значение с определённой погрешностью и какие бы границы погрешности мы не установили при бесконечно большом (n) погрешность так же стремится к бесконечности, а это неприемлемо.
Что бы избежать бесконечного роста погрешности, поступим следующим образом:
Находим разницу между двумя количествами простых чисел на двух интервалах

\[ (p_k ,p\tfrac{2} {k})(p_k ,p\tfrac{2} {{k + 1}}) \]

То есть находим количество простых чисел на интервале

\[ (p_k^2 ,p_{k + 1}^2 ) \]

Далее, имея всё же положительную погрешность, которая будет расти до бесконечности с бесконечным ростом

\[ (p_k ) \]

поступаем следующим образом.
Двигаясь при вычислении количества простых чисел на интервале

\[ (p_k^2 ,p_{k + 1}^2 ) \]

по значениям

\[ m_p \]

от значения

\[ p_k \]

до значения

\[ p_k^2 \]

мы проходим так называемую точку ноль, после которой погрешность становится отрицательной.
Последнее утверждение насколько верно, настолько же требует и продолжения работы. Особенно по так назывемым точкам ноль.
Полученые формулы с положительной и отрицательной погрешностью, дают возможность определить максимальную погрешность. Имеем:

\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k } \]

- формула определения кол. прост. чисел на интервале

\[(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )\]

с положительной погрешностью.

\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k^2 } \]

- формула с отрицательной погрешностью.
Разница между двумя этими значениями

\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k } \]

-

\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k^2 } \]

и даёт максимальную погрешность при определении кол. прост. чисел на интервале

\[(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )\]

\[ (p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k } - (p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k^2 } = (p_{k + 1}^2 - p_k^2 )(m_{p_k } - m_{p_k^2 } ) \]

- Максимальная погрешность, но это значение ничего не даёт. Максимальная погрешность растёт до бесконечности с бесконечным ростом простых чисел

\[ p_k \]

и

\[ p_{k + 1} \]

.
Однако подойдём к проблеме с другой стороны.

\[p_k^2 m_{p_k } \]

- формула определения кол. прост. чисел на интервале

\[(p_{k,} p_k^2 )\]

Но при прохождении значения

\[m_{p_k } \]

до значения

\[m_{p_k^2 } \]

при каждом шаге интервал

\[ (p_k ,p_k^2 ) \]

уменьшается на одно простое число, которое переходит в разряд базисных чисел. И так до значения

\[m_{p_k^2 } \]

Когда интервал

\[ (p_k^2 ,p_k^2 ) \]

преврашается в ноль. И при вычислении мы получаем чистую погрешность без примеси целых чисел. Вот эта-то чистая погрешность и представляет интерес.
Занимаясь определением кол. прост. чисел, не обращаем внимание на другие направления поиска. Например, что если паралельно исследовать плотность распределения простых чисел на интервале.

\[\tfrac{1}{{m_{p_k } }}\]

- плотность распределения простых чисел на интервале

\[ (p_k ,n) \]

где

\[ p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]

[/quote] [/quote]
Сергей Ситников

[нг]

возвращена.

[Апис]

..

[незваный гость]

Апис писал(а):

$ m_p = (\tfrac{1} {2})(\tfrac{2} {3})(\tfrac{4} {5})(\tfrac{6} {7}).....\tfrac{{p - 1}} {p} $
$ m_p = \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} $ - рекуррентная формула для определения значения $ \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} $

$n!$ — произведение всех натуральных чисел, не превышающих $n$, а не только простых.

Даже если Вы имеете в виду примориал (есть такая экзотика), и не оговариваете это, то для числителя (произведение простых без единички) даже термина нет…

[Апис]

..

[незваный гость]

Апис писал(а):

Посмотрите пожалуста тему кол. прост. чисел на интервале (p-n).

Честно и откровенно — лень. Если Вы хотите, чтобы кто-либо что-то смотрел, указывайте, по меньшей мере, ссылку на сообщение (страницу) (а не название темы о Бог знает сколько post'ов). А еще лучше — просто ответить на вопрос.

[Апис]

"Незваный гость" Я ничего не хочу, и боротся с вашей ленью нет у меня времени.

[Апис]

Можно ли данную формулу

\[\pi (m)\]

сравнить с существующей

\[ \pi (n)\]

и если да, то каков будет результат?

\[ \pi (m) = \sum {\left[ {(p_n^2 - p_{n - 1}^2 ) \cdot \frac{{(p_{n - 1} - 1)!}} {{(p_{n - 1} )!}}} \right]} + (m - p_n^2 ) \cdot \frac{{(p_n - 1)!}} {{p_n !}} \]

В идеале

\[ \pi (m) - m \cdot \frac{{(p_n - 1)!}} {{p_n !}} = n \]

Но как на самом деле не могу определить. А определить очень нужно. Может кто поможет.

\[ \begin{gathered} p_n^2 \leqslant m < p_{n + 1}^2 \hfill \\ p - 1,2,3,5,7,11,13........ \hfill \\ n - 1,2,3,4,5,6,7........... \hfill \\ p_n ! \hfill \\ (p_n - 1)! \hfill \\ \end{gathered} \]

p - простое число
n - номер простого числа
Факториал - произведение простых чисел с первого номера до номера (n) и произведение (где каждое простое чисело уменьшено на единицу) с первого номера до номера (n)

[Руст]

Очевидно, что новая ваша формула увеличить количество простых чисел ещё больше, чем старая. Раньше было на 12 процентов, а сейчас возможно (не хочется считать точно) на 25 процентов.

[Апис]

Руст писал(а):

Очевидно, что новая ваша формула увеличить количество простых чисел ещё больше, чем старая. Раньше было на 12 процентов, а сейчас возможно (не хочется считать точно) на 25 процентов.

Ваше голословное заявление меня не убедило. В старой формуле, при нахождении кол. прост. чисел на интервале (р,п) положительная погрешность росла до бесконечности.
В новой формуле находим кол. прост. чисел на интервале (о, m) и уже первая часть формулы сумма значений кол. прост. чисел на интервалах

\[ (p_n^2, p_{n - 1}^2 ) \]

даёт в сумме кол. прост. чисел на интервале

\[ (0,p_n^2 ) \]

с отрицательной погрешностью. С самого начала вычислений, а не при каких-то очень больших числах.
Что-то сравнить с новой формулой довольно сложно если вобще возможно, это не старая формула состоящея из нескольких сомножителей. И если кто-то, что-то хочет возразить голословные заявления не принимаются.

[PAV]

PAV:

Перемещается в Карантин до исправления ошибки в цитировании в последнем посте

[Апис]

Имеем:
% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWdaNaai % ikaiaadchadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaa % leaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiaacMcacqGH9aqpcaGGOaGaamiCam % aaDaaaleaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadchadaahaaWc % beqaaiaaikdaaaGccaGGPaGaeyyXICTaamyBamaaBaaaleaacaWGWb % aabeaaaaa!4A62! \[ \pi (p^2 ,p_/^2 ) = (p_/^2 - p^2 ) \cdot m_p \] - колличество простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc % hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG % VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79! \[ (p^2 ,p_/^2 ) \]
% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIXaaabaGaamyBamaaBaaaleaacaWGWbaabeaaaaaaaa!38CB! \[ \frac{1}{{m_p }} \] - плотность распределения простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc % hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG % VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79! \[ (p^2 ,p_/^2 ) \]
Предположим:
(приходится предполагать, так как Руст, несмотря на просьбы не хочет представить формулу, из которой следует 12% погрешность)
Итак предположим: Колличество простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc % hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG % VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79! \[ (p^2 ,p_/^2 ) \] получаем с погрешностью 10%. Ещё раз повторю - предполагаем, а для удобства берём 10%.
Какова же тогда погрешность при вычислении плотности % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIXaaabaGaamyBamaaBaaaleaacaWGWbaabeaaaaaaaa!38CB! \[ \frac{1}{{m_p }} \] распределения простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc % hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG % VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79! \[ (p^2 ,p_/^2 ) \]
Вобще-то даже не какая погрешность, а будет ли она разная или одинаковая и для колличества и для плотности.
Хотелось бы услышать мнение, о всей теме, участника (e2e4), был бы очень признателен.