Матричное уравнение

[Yana Romanova]

Задача: найти все решения матричного уравнения $X^2=X$ в алгебре вещественных матриц порядка 2 и дать геометрическое описание множества решений.


Я пыталась решить, приравняв коэффициенты матриц $X^2$ и $X$, но получаются только уравнения, в которых 4 неизвестных. А решение не должно быть сложным. Может быть у вас будут идеи?

[ewert]

$(2X-I)^2=I;\ \ Y=2X-I;\ \ Y^2=I;\ \ \det Y=\pm1,\ Y=Y^{-1}.$

И поскольку для матрицы два на два обратная матрица выписывается явно -- для каждого из двух возможных значений детерминанта уравнения на элементы оказываются совсем простенькими и общие решения выписываются мгновенно.

[Yana Romanova]

Ого, спасибо. Значит, найдём обратную матрицу и приравняем её элементы к нашей матрицы:
Обратная будет:
$\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
и
$\begin{pmatrix} -d & b \\ c & -a \end{pmatrix}$
т.к. определитель равен $1$ и $-1$.
Тогда $a=d, b=-b, c=-c, d=a$
и
$a=-d, b=b, c=c, d=-a$
Но это же не всегда верно.

[ewert]

Yana Romanova в сообщении #578497 писал(а):

Тогда $a=d, b=-b, c=-c, d=a$
и
$a=-d, b=b, c=c, d=-a$

Во-первых, не "и", а "или". Во-вторых, первый случай приводит к очевидному результату; а во втором остаётся лишь добавить условие на детерминант.

[venco]

$(\det X)^2=\det X$ $\Rightarrow$ $\det X=\{0,1\}$

1. $\det X=1$ $\Rightarrow$ $X^2\cdot X^{-1}=X\cdot X^{-1}$ $\Rightarrow$ $X=I$

2. $\det X=0$ $\Rightarrow$ $X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}$
2.1 $a=b=0$ или $c=d=0$ $\Rightarrow$ $X=0$
2.2 иначе $\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=1$, откуда легко получается параметризированное решение.

[Yana Romanova]

Ох, у вас определители расходятся.

venco в сообщении #578506 писал(а):

2. $\det X=0$ $\Rightarrow$ $X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}$

Вот тут не совсем понятно, как получилось, что $X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}$.

[ewert]

Yana Romanova в сообщении #578516 писал(а):

не совсем понятно, как получилось, что $X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}$.

Вырожденность матрицы означает линейную зависимость строк. Ну а когда строк лишь две, это сводится просто к их пропорциональности.

[Yana Romanova]

ewert в сообщении #578521 писал(а):

Вырожденность матрицы означает линейную зависимость строк. Ну а когда строк лишь две, это сводится просто к их пропорциональности.

И правда, не подумала о вырожденности. А как можно дать геометрическое описание множества решений?

[arseniiv]

Возьмём оператор проецирования на какую-нибудь прямую. Что получится, если его два раза применить?

[Yana Romanova]

arseniiv в сообщении #578550 писал(а):

Возьмём оператор проецирования на какую-нибудь прямую. Что получится, если его два раза применить?

Простите, а как он применяется?

[arseniiv]

(Для двумерного случая.) Дана прямая $l$ проецирования и прямая $s$, не параллельная этой. При (параллельном) проецировании точка переносится вдоль прямой $s$ до попадения на $l$.

На самом деле, зря я такое общее написал, потому что оператор проецирования на прямую, не проходящую через нуль, не линейный. Но если проецировать только на прямые, проходящие, то матрица оператора такого проецирования как раз $X$, за исключением случаев $X = I$ и $X = 0$. (Если ничего не забыл.) Предлагаю проверить это.

[Yana Romanova]

venco в сообщении #578506 писал(а):

2. $\det X=0$ $\Rightarrow$ $X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}$

venco в сообщении #578506 писал(а):

2.2 иначе $\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=1$, откуда легко получается параметризированное решение.

В уравнении $ac+db=1$ если взять $a=b=d=1, c=0$, то уравнение выполняется, но матрица с такими элементами не будет равна её квадрату.
Или если взять $a=1$, а остальные $0$, то уравнение не выполнится, а с матрицами всё выполняется.

[arseniiv]

Yana Romanova в сообщении #578652 писал(а):

Или если взять $a=1$, а остальные $0$, то уравнение не выполнится, а с матрицами всё выполняется.

Нулевая матрица же рассматривается в 2.1! Как раз тот случай.

Yana Romanova в сообщении #578652 писал(а):

В уравнении $ac+db=1$ если взять $a=b=d=1$, $c=0$, то уравнение выполняется, но матрица с такими элементами не будет равна её квадрату.

Почему не равна?

[ewert]

Yana Romanova в сообщении #578652 писал(а):

В уравнении ac+db=1 если взять a=b=d=1, c=0, то уравнение выполняется, но матрица с такими элементами не будет равна её квадрату.

Дело попросту в том, что в предлагавшихся обозначениях $a,b,c,d$ вовсе не суть элементы матрицы.

[Yana Romanova]

ewert в сообщении #578683 писал(а):

Дело попросту в том, что в предлагавшихся обозначениях $a,b,c,d$ вовсе не суть элементы матрицы.

А что тогда?