Many circles

[ins-]

In the triangle $ABC$ - $O$ and $I$ are the circumcenter and incenter, respectively. $I_1$, $I_2$, $I_3$ are the excenters. $J$ is the circumcenter of the triangle $I_1I_2I_3$. Prove that $O, I, J$ are colinear and $OI=OJ$.

[Dave]

Это сразу следует из теоремы Мансиона, если рассмотреть гомотетию с центром в точке $I$.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Dave в сообщении #578107 писал(а):

Это сразу следует из теоремы Мансиона, если рассмотреть гомотетию с центром в точке $I$.

Я ее знаю как теорему о трезубце. (Там, правда, центр вневписанной не фигурирует, но коню понятно, что и он там.)

[ins-]

I was very happy when I found the theorem mentioned on a russian site before but I cannot successfully apply it. May you give more hints?

(Оффтоп)

I would like to note that using the statement I posted and using Euler identity we can find a dependency between ABC's inradii, circumradii and I1I2I3 circumradii.

[Хорхе]

По-моему, понятней некуда. При гомотетии с центром в $I$ и коэффициентом 2 середины дуг $AB$, $BC$ и $AC$ переходят в $I_1$, $I_2$, $I_3$. Значит, $O$ переходит в $J$, и имеет место указанное равенство.

[ins-]

Thank you very much. It is clear now. Nine-point circle also can be used to solve the problem.
I re(discovered) many problems about excircles I just checked if they are well known and after your posts I found this link
http://gogeometry.com/bevanpoint1.html it seems it is a well known problem. The following link may also be useful http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ ... xplanation .