ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка

[Hadouken]

Кто-нибудь может проверить и указать на ошибки, а так же посоветовать литературу по данному типу задач, т. к. не до конца понимаю, что делаю? Преподаватель говорит, что я построил до первого, а не до второго порядка.
Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.

Мое решение:

$$au_0+bu_1=0$$

$$au(x)+bu(x+h)-u'(x)+u(x)=0$$

$$au(x)+bu(x)+bhu'(x)+\frac{bh^2}{2} u''(x) + bo(h^3) - u'(x)+u(x)=0$$

$$(a+b+1)u(x)+(bh-1)u'(x)+\frac{bh^2}{2}u''(x)+bo(h^3)=0$$

$$u''(0)-2u(0)=\sin0-1; u''(0)=2u(0)-1$$

$$(a+b+1+bh^2)u(x)+(bh-1)u'(x)-\frac{bh^2}{2}+o(h^3)=0$$

$$ \left\{\begin{matrix} bh & & & -1 & = & 1\\ bh^2& +a & +b & +1 & = & -1 \end{matrix}\right. $$

Получаем

$$ a=-2-\frac2h-2h, b=\frac2h$$

Подставляя получаем

$$\frac{u_1-u_0}{h}-u_0-u_0h-\frac{h}{2} = 0$$

[Yu_K]

Если разложить в ряд получим -

$$\frac{u(0)+hu'(0)+\frac{h^2}{2}u''(0)-u(0)}{h}-u(0)h-h/2=0$$

- так похоже что прав преподаватель. Вы должны получить аппроксимацию вида

$$u'(0)-u(0)+O(h^2)=-1$$

- придется три точки задействовать слева.

[TOTAL]

Hadouken в сообщении #577668 писал(а):

Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.

$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=u_x-u+O(h^2)$$

[Hadouken]

TOTAL в сообщении #577900 писал(а):

Hadouken в сообщении #577668 писал(а):

Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.

$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=u_x-u+O(h^2)$$

Не пойму, что это значит?

[Yu_K]

2-ку потеряли.

[TOTAL]

Hadouken в сообщении #578160 писал(а):

TOTAL в сообщении #577900 писал(а):

Hadouken в сообщении #577668 писал(а):

Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.

$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=u_x-u+O(h^2)$$

Не пойму, что это значит?

Это значит, что

$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=0$$

является аппроксимацией второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $

[Yu_K]

Да точно - двойка в уравнении - а не в краевом условии - так, что все верно... не туда посмотрел... Остается привести преподавателю разложение в ряд Тейлора для док-ва собственной правоты.