2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка
Сообщение28.05.2012, 18:38 
Кто-нибудь может проверить и указать на ошибки, а так же посоветовать литературу по данному типу задач, т. к. не до конца понимаю, что делаю? Преподаватель говорит, что я построил до первого, а не до второго порядка.
Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.
Мое решение:

$$au_0+bu_1=0$$
$$au(x)+bu(x+h)-u'(x)+u(x)=0$$
$$au(x)+bu(x)+bhu'(x)+\frac{bh^2}{2} u''(x) + bo(h^3) - u'(x)+u(x)=0$$
$$(a+b+1)u(x)+(bh-1)u'(x)+\frac{bh^2}{2}u''(x)+bo(h^3)=0$$
$$u''(0)-2u(0)=\sin0-1; u''(0)=2u(0)-1$$
$$(a+b+1+bh^2)u(x)+(bh-1)u'(x)-\frac{bh^2}{2}+o(h^3)=0$$
$$
\left\{\begin{matrix}
bh &  &  & -1  & = & 1\\ 
 bh^2& +a & +b & +1  & = & -1
\end{matrix}\right.
$$
Получаем

$$ a=-2-\frac2h-2h,
 b=\frac2h$$
Подставляя получаем

$$\frac{u_1-u_0}{h}-u_0-u_0h-\frac{h}{2} = 0$$

 
 
 
 Re: ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка
Сообщение28.05.2012, 19:35 
Если разложить в ряд получим -

$$\frac{u(0)+hu'(0)+\frac{h^2}{2}u''(0)-u(0)}{h}-u(0)h-h/2=0$$ - так похоже что прав преподаватель. Вы должны получить аппроксимацию вида
$$u'(0)-u(0)+O(h^2)=-1$$ - придется три точки задействовать слева.

 
 
 
 Re: ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка
Сообщение29.05.2012, 06:51 
Аватара пользователя
Hadouken в сообщении #577668 писал(а):
Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.

$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=u_x-u+O(h^2)$$

 
 
 
 Re: ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка
Сообщение29.05.2012, 22:17 
TOTAL в сообщении #577900 писал(а):
Hadouken в сообщении #577668 писал(а):
Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.

$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=u_x-u+O(h^2)$$

Не пойму, что это значит?

 
 
 
 Re: ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка
Сообщение30.05.2012, 04:04 
2-ку потеряли.

 
 
 
 Re: ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка
Сообщение30.05.2012, 04:33 
Аватара пользователя
Hadouken в сообщении #578160 писал(а):
TOTAL в сообщении #577900 писал(а):
Hadouken в сообщении #577668 писал(а):
Задание: Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $, заданного при $ x=0 $, для уравнения $u''-2u=\sin x -1$.

$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=u_x-u+O(h^2)$$

Не пойму, что это значит?

Это значит, что
$$\frac{u_1 - u_0}{h} - u_0 - \frac{h}{2} \cdot (2u_0-1)=0$$
является аппроксимацией второго порядка по двум точкам левого краевого условия $ u'-u=0 $

 
 
 
 Re: ЧМ, построить аппроксимацию второго порядка
Сообщение30.05.2012, 06:01 
Да точно - двойка в уравнении - а не в краевом условии - так, что все верно... не туда посмотрел... Остается привести преподавателю разложение в ряд Тейлора для док-ва собственной правоты.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group