Задача о гомоморфизме

[IPA47]

Прошу помощи в решении следующей задачи:

Доказать, что ядро любого гомоморфизма мультипликативной группы $C^{*}$ комплексных чисел в аддитивную группу $R$ вещественных чисел является бесконечной группой.

Сам пытался рассуждать следующим образом: известно, что ядро группы является нормальной подгруппой. Следовательно, очевидно, что ядро это группа. Теперь необходимо доказать, что она бесконечная, причем для любого гомоморфизма. Пытался по-разному, но успехов особых не получилось.

Подскажите пожалуйста, как можно доказать бесконечность ядра (группы) в данной задаче?

[AV_77]

Вы лучше посмотрите из чего это ядро может состоять. Для начала можно заметить, что в $\mathbb{C}$ уравнение $x^n = 1$ имеет $n$ корней для любого натурального $n$. А в $\mathbb{R}$ уравнение $nx = 0$ имеет только одно решение.

[IPA47]

Правильный ли у меня тогда ход мыслей?

по свойству гомо/м $\varphi(1)=0$. Пусть в группе комплексных чисел $x^{n}=1$. Тогда распишем:
$0=\varphi(1)=\varphi(x^{n})=n\varphi(x) \Longrightarrow \varphi(x)=0$. То есть элемент $x \in \mathbb{C}$ есть элемент ядра. Так как $n \in \mathbb{N}$ и может быть бесконечно большим, то в $\mathbb{C}$ существует бесконечно много $x$, удовлетворяющих уравнению $x^{n}=1$ (более точно $n$). Следовательно, так как получили, что $\varphi(x)=0 , x \in \mathbb{C}, x^{n}=1$ , то получаем бесконечное число элементов в ядре, то есть ядро бесконечное.

[AV_77]

Направление верное. Осталось доработать, чтобы нелепостей типа

IPA47 в сообщении #577820 писал(а):

в $\mathbb{C}$ существует бесконечно много $x$, удовлетворяющих уравнению $x^{n}=1$ (более точно $n$)

не было. И вывод нормальный сделать. Кстати, не забывайте, что у вас группа $\mathbb{C}^*$, а то звездочка пропала куда-то.

[IPA47]

Благодарю, оформлю решение в нормальном виде и попробую сдать