2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональное уравнение
Сообщение28.05.2012, 20:01 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ удовлетворяет уравнению $$4f(f(x))-2f(x)-3x=0$$ для всех $x\in\mathbb R$.
Найти все такие функции.

(Жалкое подобие попытки)

Единственное, в чём я смогла продвинуться - это доказать, что $f(0)=0$.

Действительно, пусть $f(0)=a$.

Тогда $4f(a)-2a-3\cdot 0=0$, откуда $f(a)=\frac{a}{2}$.

Но тогда $4f(\frac{a}{2})-2\cdot\frac{a}{2}-3a=0$, откуда $f(\frac{a}{2})=a$.

Но тогда $4f(a)-2a-3\cdot\frac{a}{2}=0$, откуда $f(a)=\frac{7}{8}a$ и оно же равно $\frac{a}{2}$, а это возможно только при $a=0$.


А куда дальше плясать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу решить функциональное уравнение
Сообщение28.05.2012, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Там ни разу слово "непрерывные" не пропущено?

Иначе тут фигня получается, как с уравнением Коши, только идейно проще.

Понятно, что этому уравнению удовлетворяют две линейные функции: $\alpha_{+} x$ и $\alpha_{-} x$, где $\alpha_{\pm}= (1\pm\sqrt{13})/4$. Поэтому введем естественное отношение эквивалентности: $x\sim y$, если $x = \alpha_+^k\alpha_-^l y$, $k,l\in\mathbb Z$. На каждом из классов эквивалентности (коих несчетное число, поскольку каждый класс, за исключением $\{0\}$, счетен) зададим функцию $f$ как $\alpha_{+} x$ или $\alpha_{-} x$. Тогда $f$ будет сохранять классы, и соотношение будет очевидным образом выполнено. Получится ужасающее количество решений, больше континуума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу решить функциональное уравнение
Сообщение28.05.2012, 22:48 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Глубокоуважаемый модератор!

Не могли бы Вы перенести данную тему в раздел "Олимпиадные задачи"?
Сперва я подумала, что задачка стандартная и я просто туплю. Но оказывается, не всё так просто и задача и впрямь нетривиальная.

Заранее благодарна!
(пока писАла, меня опередили)

-- 28.05.2012, 21:50 --

Хорхе в сообщении #577827 писал(а):
Там ни разу слово "непрерывные" не пропущено?

Вот и я об этом подумала. Но ведь не написано "continuous function" :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу решить функциональное уравнение
Сообщение28.05.2012, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #577829 писал(а):
Глубокоуважаемый модератор!

Не могли бы Вы перенести данную тему в раздел "Олимпиадные задачи"?
Сперва я подумала, что задачка стандартная и я просто туплю. Но оказывается, не всё так просто и задача и впрямь нетривиальная.

Заранее благодарна!

В таких случаях можно (и нужно) нажать кнопочку "пожаловаться" внизу своего сообщения. Так модераторы гораздо раньше узнают о Вашем желании.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.05.2012, 23:26 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: просьба автора.

Я также немного поменял название.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение28.05.2012, 23:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
По всей вероятности, слово "непрерывные" в условии задачи всё же пропущено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение29.05.2012, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Только, сдается мне, даже непрерывность эту задачу не спасет. Вот тут неожиданно спросили про инволюции, и я вдруг подумал: "Да, инволюции!"

Данное уравнение не сильно отличается от уравнения вроде $h(h(x))=x$, у которого даже непрерывных решений тьма. Так что не хочу об этой задаче больше думать :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение29.05.2012, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
А вот что касается уравнения $h(h(x))=x,$ то получилась интересная, хотя и несложная задача.

Докажите, что для любой нетривиальной (не равной тождественно $x$) непрерывной функции $h: \mathbb R \to \mathbb R$, удовлетворяющей такому уравнению, существует такая константа $a$ и функция $f: (-\infty,a] \to [a,+\infty)$, что $$h(x)=\begin{cases}
 f(x),&\text{если} \; x \leqslant a ;\\
 f^{-1}(x),&\text{если} \; x>a ,$
\end{cases}$$причём
1) $f(x)$ непрерывна во всей области определения;
2) $f(x)$ монотонно убывает во всей области определения;
3) $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$;
4) $f(a)=a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение29.05.2012, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ktina, а где Вы эту задачу нашли?
Мой вопрос, конечно, экстраматематический. Задачи надо решать, а не спрашивать, откуда они.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение29.05.2012, 18:24 


01/07/08
836
Киев
Ktina в сообщении #577705 писал(а):
Единственное, в чём я смогла продвинуться - это доказать, что $f(0)=0$.

(не надо дальше плясать)

Действительно, пусть $f(0)=a$.

Тогда $4f(a)-2a-3\cdot 0=0$, откуда $f(a)=\frac{a}{2}$.

Но тогда $4f(\frac{a}{2})-2\cdot\frac{a}{2}-3a=0$, откуда $f(\frac{a}{2})=a$. (при $x=0$ а $ a\not = 0 $ будет $ -3x\not = -3a$)


Благодаря вам, я научился вставлять заглавие в оффтопик. :-) С уважением

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group