Там ни разу слово "непрерывные" не пропущено?
Иначе тут фигня получается, как с уравнением Коши, только идейно проще.
Понятно, что этому уравнению удовлетворяют две линейные функции:

и

, где

. Поэтому введем естественное отношение эквивалентности:

, если

,

. На каждом из классов эквивалентности (коих несчетное число, поскольку каждый класс, за исключением

, счетен) зададим функцию

как

или

. Тогда

будет сохранять классы, и соотношение будет очевидным образом выполнено. Получится ужасающее количество решений, больше континуума.