3 задачи по теории вероятностей (завтра утром зачёт!)

[Black_Queen152]

Вот какие 3 задачи мне нужно научиться решать до завтра.

1. (Совместные распределения) Плотность совместного распредления $\xi, \eta$ определяется равенством
$p_{\xi, \eta}(u, v) = \frac 2 {\pi(u^2+v^2)} I_{u^2+x^2 \geqslant 1}$.
Найти плотность распределения случайной величины $\zeta = \sqrt {\xi^2+\eta^2}$.

2. (Подсчет мат.ожидания) Совместная плотность случайных величин имеет вид
$p_{\xi, \eta}(x, y) = \frac 1 \pi e^{-x^2-2xy-2y^2}$.
Найти дисперсию $\xi + 2\eta$.

3. (Закон больших чисел) Случайные величины $\xi_1, \xi_2, ...$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение,
$\eta_n = \frac {\cos \xi_n} {\sin \xi_{n+1} +2}.$
Удовлетворяют ли последовательности $\eta_1, \eta_3, \eta_5, ...$ и $\eta_1, \eta_2, \eta_3, ... $закону больших чисел?

Вроде бы, нужные определения и формулировку ЗБЧ я знаю, но как тут это применять, пока не врубилась... буду благодарна любой помощи и подсказкам.

[svv]

Так у Вас уже "завтра утро"!

[Black_Queen152]

Нет, я в Москве учусь

[svv]

Аааа, понятно.
По первой задаче -- найдите $p_{\zeta}(r)$ как $\frac d{dr}F_{\zeta}(r)$.
А $F_{\zeta}(r)=\textsf P\{\zeta\leqslant r\}=\textsf P\{\sqrt{\xi^2+\eta^2}\leqslant r\}=\int\int...$