Кпиволиненйный интеграл первого рода. Пересечение сферы и пл

[Firth]

Вычислить интеграл

$$\int\limits_L (x+y+z)dl$$

Если $L=\left\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=R^2, x=y, x>0, y>0, z>0\right\}$

Правильно ли я рассуждаю, возьмем параметризацию:

$$x=\rho\sin\theta\cos\varphi$$

$$y=\rho\sin\theta\sin\varphi$$

$$z=\rho\cos\theta$$

при этом чтобы получилась нужная нам линия подставляем константы вместо $\rho, \varphi$

тогда нужная нам параметризация:

$$x=R\sin\theta\cos \frac \pi 2$$

$$y=R\sin\theta\sin\frac \pi 2$$

$$z=R\cos\theta$$

ну а дальше находим производные по $\theta$ возводим их в квадрат складываем и вычисляем квадратный корень тем самым получая $dl$

Верно?

[svv]

Почти правильно, только $\varphi$ не тот.

Firth в сообщении #577100 писал(а):

при этом чтобы получилась нужная нам линия подставляем константы вместо $\rho, \varphi$

Да, правильно. Причем эти константы можно получить, просто видя, какие там надо взять значения (предпочтительный вариант). Но можно и с помощью следующей формальной процедуры.
Подставим выражение декартовых координат через сферические сюда $x^2+y^2+z^2=R^2$. Получим после упрощений $\rho=R$.
Теперь сюда: $x=y$. Получим после упрощений $\cos\varphi=\sin\varphi$, то есть $\tg\varphi=1$, то есть

-- Вс май 27, 2012 15:15:59 --

Да, ещё.

Firth писал(а):

ну а дальше находим производные по $\theta$ возводим их в квадрат складываем и вычисляем квадратный корень тем самым получая $dl$

Довольно очевидно, что должно получиться $dl=Rd\theta$, длина дуги окружности равна радиусу на угол.

[Firth]

svv в сообщении #577174 писал(а):

Почти правильно, только $\varphi$ не тот.

оуууу я опечатался, конечно же

$$\frac \pi 4$$