ТВИМС: Деревья и их диаметр

[Mikle_Finsky]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить следующую задачку.

Определите сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения не более чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0.95. Предполагается известным, что среднеквадратические отклонения диаметра поперечного сечения деревьев равняется 10 см и измерения проводятся без погрешности.

Я так предположил, что здесь нужно использовать центральную предельную теорему (т.к. сказано, что деревьев много и следовательно замеров тоже). Моя проблема в том, что я не могу до конца понять условие этой задачи и перевести его на математический язык. Но все же я тут, что-то да составил. =)

$X_n=\{\text{
Т.к. n большое число, то можно применить ЦПТ, тогда
$X_n\longrightarrow N(nM[x],nD[x])$
Дальше найдем вероятность:
$P\{|X-nM[x]|\leqslant \text{2}\}=0.95$
$\frac{1}{2}+\Phi_0(\frac{2}{n\sqrt{Dx}})-\frac{1}{2}+\Phi_0(\frac{2}{n\sqrt{Dx}})=0.95$
$2\Phi_0(\frac{2}{n 10})=0.95$
$\Phi_0(\frac{2}{n 10})=0.475$
По таблице функции Лапласа находим, что:
$\frac{2}{n 10}=0.12$
$n=1.6(6)$

[faruk]

Mikle_Finsky в сообщении #576932 писал(а):

Моя проблема в том, что я не могу до конца понять условие этой задачи и перевести его на математический язык.

Есть задачи на нахождение доверительного интервала, а здесь, наоборот, доверительный интервал задан ($\pm 2$), и ищется неизвестное число испытаний $n$.

См. http://en.wikipedia.org/wiki/Confidence ... al_example

$1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — это и есть максимальное отклонение от ожидаемой величины для $P=0.95$

[--mS--]

Mikle_Finsky в сообщении #576932 писал(а):

$X_n=\{\text{
Т.к. n большое число, то можно применить ЦПТ, тогда
$X_n\longrightarrow N(nM[x],nD[x])$

Каким образом предел при изменении $n$ может содержать $n$? Ничего, что в правой части $n$ уже пришло в бесконечность?
Да и данное высказывание ничего общего с ЦПТ (и вообще с верным высказыванием) иметь не может. Распределение у $X_n$ одно и то же, и никак с изменением $n$ не меняется. См. ЦПТ или свойства нормального распределения, поскольку замеры, по умолчанию, ему подчиняются безо всяких предельных теорем.

См. условие. Что такое "средний диаметр деревьев"? Читаем вот эту фразу

Mikle_Finsky в сообщении #576932 писал(а):

Определите сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке такое $n$, чтобы средний диаметр деревьев (что это?) отличался (что это значит?) от истинного значения (что это?) не более чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0.95.

и начинаем подставлять вместо слов буковки.

[Mikle_Finsky]

--mS--
1. Cредний диаметр деревьев это сумма всех диаметров и деленное на n: $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i$
2. Истинное значение, я так понимаю это мат. ожидание?: $M[X_n]$

[--mS--]

Да, конечно. Дальше?

[Mikle_Finsky]

--mS--
3. Надо найти вероятность

$$P\{|\bar{X}-M[X_n]|\leqslant\text{2}\}=0.95$$

$$P\{\frac{-2-M[X_n]+M[\bar{X}]}{\sqrt{D[\bar{X}}]}\leqslant\bar{X}\leqslant \frac{2-M[X_n]+M[\bar{X}]}{\sqrt{D[\bar{X}}]}\}=0.95$$

Цитата:

Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к $N(n\mu,n\sigma^{2})$ . Эквивалентно $\bar{X}$, имеет распределение близкое к $N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$.

ЦПТ
Значит, что

$$M[X_n]=M[\bar{X}] \text{и} \sqrt{D[\bar{X}]}=\frac{\sigma_{X_n}}{\sqrt{n}}$$

$$P\{\frac{-2\sqrt{n}}{\sigma_{X_n}}\leqslant\bar{X}\leqslant \frac{2\sqrt{n}}{\sigma_{X_n}}\}=0.95$$

Вероятность в этом интервале можно вычислить с помощью функции Лапласа
$\sigma_{X_n}=10$

$$\frac{1}{2}+\Phi_0(\frac{2\sqrt{n}}{10})-\frac{1}{2}+\Phi_0(\frac{2\sqrt{n}}{10})=0.95$$

$$2\Phi_0(\frac{2\sqrt{n}}{10})=0.95$$

Что-бы вероятность была не меньше, чем 0.95, вот эта штука

$$\frac{2\sqrt{n}}{10}=1.96$$

Отсюда

$$n={9.8}^2=96.04$$

Верно? :)

[Mikle_Finsky]

Ошибся в начале, конечно ничего не изменится, но

$$P\{\frac{-2+M[X_n]-M[\bar{X}]}{\sqrt{D[\bar{X}}]}\leqslant\bar{X}\leqslant \frac{2+M[X_n]-M[\bar{X}]}{\sqrt{D[\bar{X}}]}\}=0.95$$

[--mS--]

Будет совсем верно, если вспомнить, что $n$ - целое число.

[Mikle_Finsky]

--mS--
Намек понятен, значит n=97. Спасибо Вам за помощь :)