Найти область сходимости функционального ряда

[qwerty2345]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с нахождением области сходимочти функционального ряда.
$\sum\frac{x(x-1)...(x-(n-1))}{n!}$
Я попробовал по Даламберу, нашел, что при х>-1 ряд сходится абсолютно, в ответах же от -1 до 0 сходится условно, абсолютно, начиная с 0.
Это 6.4 в Кудрявцеве, стр 363, если что.
Заранее спасибо!

[ewert]

qwerty2345 в сообщении #576739 писал(а):

Я попробовал по Даламберу, нашел,

Вы ничего не могли найти по Даламберу: поведение членов ряда -- степенное, а такое поведение Даламбер не ловит.

Ответ в книжке правильный. Правильность довольно очевидно следует из формулы Стирлинга, а вне её -- придётся поковыряться.

[qwerty2345]

Это Вы про приближение факториала?

-- 26.05.2012, 20:54 --

Видимо, да. Эту формулу я знаю и пытался применять, но мне это ничего не дало. Может подскажете, в каком направлении думать?
Учитывая, что это задачник Кудрявцева, тем более самое начало темы, вряд ли трудно решается.

[ewert]

qwerty2345 в сообщении #576794 писал(а):

Эту формулу я знаю и пытался применять, но мне это ничего не дало. Может подскажете, в каком направлении думать?

Если знаете -- то тупо именно её и применяйте. Там всё практически мгновенно получается. С двумя оговорками. Во-первых, надо знать второй замечательный предел; но его так и так надо знать. Во-вторых, для области условной сходимости надо аккуратно обосновать монотонность модулей; но и это делается очевидным образом -- требуется об этом лишь не забыть.

-- Сб май 26, 2012 21:20:07 --

А, пардон. Я не учёл, что понятия гамма-функции ещё нет. Ну тогда примените признак Раабе.

[qwerty2345]

А его точно можно для функциональных рядов применять?
В любом случае, у меня получается
$\frac{k(2k-x+1)}{k+1}$
Что не очень хорошо.
Если с использованием формулы Стирлинга, то же самое.
А про гамма-функции и правда не знаю еще.

[ewert]

qwerty2345 в сообщении #576828 писал(а):

А его точно можно для функциональных рядов применять?

Формально -- нельзя. Но фактически -- для каждого фиксированного икса кто ж сможет запретить.

qwerty2345 в сообщении #576828 писал(а):

В любом случае, у меня получается
$\frac{k(2k-x+1)}{k+1}$

Нет, по Рабе получится совсем не так. Аккуратнее, пожалуйста.

[qwerty2345]

Слушайте, и правда для х>=0 все получилось.
А когда мы ищем промежуток условной сходимости, мы можем считать ряд знакопеременным и пользоваться критерием Лейбница?

[ewert]

qwerty2345 в сообщении #576854 писал(а):

мы можем считать ряд знакопеременным и пользоваться критерием Лейбница?

Можем, если он и впрямь знакочередующийся (а вовсе не просто знакопеременный), но это надо аккуратно обосновать.

И Лейбница -- тоже можем, но ровно с теми же оговорками: необходимо аккуратно обосновать его применимость.

[qwerty2345]

Спасибо огромное, Вы мне очень помогли!

[ewert]

(блин; ну почему все произносят слово "критерий" исключительно невпопад?... даже демонстративно как-то)