Найти площадь поверхности

[Atmaks]

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, если $x+y \le R , x \ge 0 , y \ge 0$. Поскольку относительно плоскости $xOy$ эта сфера симметрична, можно взять верхнюю часть и потом удвоить результат. Итак, получаем следующий интеграл:

$$ \int \limits_0^R dx \int \limits_0^{R-x} \sqrt{ 1+ \frac{x^2}{R^2 - x^2 - y^2} + \frac{y^2}{R^2 - x^2 - y^2} } dy $$

Внутренний интеграл берётся, всё приводится к красивому виду

$$ R \int \limits_0^R \arcsin{ \sqrt{ \frac{R-x}{R+x} } } dx $$

Вообще говоря, интересует, как взять этот арксинус. Пробовал по частям. Получается интеграл с рациональной дробью с многочленом под корнем и просто иксом. Причём в знаменателе получается выражение $R-x$. Пробовал взять подстановкой Эйлера, получился очень красивый, но неправильный ответ :) Что ж с арксинусом делать-то?

[Yu_K]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+arcsin%28sqrt%28%281-x%29%2F%281%2Bx%29%29%29dx+

Вы хотите площадь кусочка сферы посчитать?

[svv]

Да, действительно, найдите как разность четверти площади сферы и площади шапочки с углом раствора $\frac {\pi} 4$, отсекаемой плоскостью.

[Atmaks]

Yu_K в сообщении #576694 писал(а):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+arcsin%28sqrt%28%281-x%29%2F%281%2Bx%29%29%29dx+

Вы хотите площадь кусочка сферы посчитать?

Получается, да. Кусок сферы, который лежит в первой четверти с положительной $z$, но часть от него отсечена плоскостью $x + y = R$. Вольфрам - вещь хорошая, да.

svv в сообщении #576791 писал(а):

Да, действительно, найдите как разность четверти площади сферы и площади шапочки с углом раствора $\frac {\pi} 4$, отсекаемой плоскостью.

Не могли бы вы нарисовать окружность в $xOy$ и показать, где находится "шапочка"? Если я правильно понял, я так и делаю. Этот интеграл-то всё равно вылезет.

[svv]

Прежде всего, не будем разбивать интеграл на верхнюю и нижнюю часть, сейчас это не будет удобно.


"Шапочка" -- жёлтая область.
Вам надо найти площадь зеленой области. Она равна $\pi R^2$ (т.е. $\frac 1 4$ площади сферы) минус площадь шапочки.

На картинке Вы видите светло-серый луч. Его уравнение $z=0, x=y, x\geqslant 0$. Луч перпендикулярен "отсекающей" плоскости $x+y=R$. Шапочка осесимметрична относительно этого луча.

Представьте, что светло-серый луч -- полярная ось сферической системы координат (введенной нестандартно по отношению к декартовой). В этой системе шапочка опишется так:
$r=R,\; 0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}4, \; 0\leqslant\varphi\leqslant 2\pi$
И найти площадь её поверхности совсем просто.

[Atmaks]

Спасибо большое! Так и не разобрался, как находить площадь через сферическую СК, нашёл по формуле поверхности тела вращения. Итоговый ответ - $\pi R^2 (\sqrt2 - 1)$. В два раза больше, чем в задачнике. Наверное, там имелась в виду верхняя половина.

[svv]

Вот так:
$r=R,\; 0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}4, \; 0\leqslant\varphi\leqslant 2\pi$

$$S_{\text{шапочки}}=R^2\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}4}\sin\theta\,d\theta=2\pi R^2 \left(1-\frac {\sqrt 2} 2\right)$$

$$S_{\text{нужной поверхности}}=\pi R^2-S_{\text{шапочки}}=\pi R^2(\sqrt 2-1)$$