Рассматривается неоднородное уравнение математического маятника (или грузика на пружинке).
Цель - разобраться как оперировать с неоднородностью в виде дельта-функции на простом примере.

В начальный момент времени грузику сообщается толчок

.
Коэффициенты в уравнении для удобства выбраны равными единице.

- смещение из положения равновесия,

- время
Начальные условия однородны:

Воспользуемся преобразованием Лапласа. С учетом Н.У. получим:

Отсюда находим

:

Выполним обратное преобразование Лапласа, не забывая про дельта-функцию:

Применяя свертку, получим

во временной области:

Где

- функция Хевисайда.
Теперь проверим полученное выражение подстановкой в исходное уравнение. Найдем производные:



Последнее выражение еще можно преобразовать, воспользовавшись формулой [
Википедия]:

Тогда получим в левой части исходного уравнения:

О ужас! Тут возникают сомнения и вопросы.
Разве так и должно быть? С прискорбием вынужден констатировать, что правая часть, представляющая из себя просто

, не равна левой. Или все-таки равна? Так и должно быть? Или я где-нибудь ошибся? Ничего не понимаю, пожалуйста помогите разобраться.