2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение25.05.2012, 20:37 
Аватара пользователя
Рассматривается неоднородное уравнение математического маятника (или грузика на пружинке).
Цель - разобраться как оперировать с неоднородностью в виде дельта-функции на простом примере.
$$\ddot{x}+x=\delta(t)$$
В начальный момент времени грузику сообщается толчок $\delta(t)$.
Коэффициенты в уравнении для удобства выбраны равными единице.
$x$ - смещение из положения равновесия, $t$ - время
Начальные условия однородны: $\dot{x}(0)=0; ~ x(0)=0;$

Воспользуемся преобразованием Лапласа. С учетом Н.У. получим:
$$s^2 \bar{x}+\bar{x}=1$$
Отсюда находим $\bar{x}$:
$$\bar{x}=\frac 1 {1+s^2}$$
Выполним обратное преобразование Лапласа, не забывая про дельта-функцию:
$$\frac 1 {1+s^2} \doteq \sin(t); \quad 1 \doteq \delta(t);$$
Применяя свертку, получим $x$ во временной области:
$$x=\int\limits_0^t \sin (\tau) \delta(t-\tau)\,d\tau=\begin{cases}
\sin (t),&\text{если $t>0$;}\\
-\sin (t),&\text{если $t<0$.}
\end{cases}=\sin (t)(2 H(t)-1)$$
Где $H(t)$ - функция Хевисайда.
Теперь проверим полученное выражение подстановкой в исходное уравнение. Найдем производные:
$$\dot{x}=2 \cos (t) H(t)+2 \sin(t) \delta(t)-\cos(t)$$
$$\ddot{x}=-2 \sin(t) H(t)+4 \cos(t) \delta(t)+2\sin(t)\delta'(t)+\sin(t)$$$$\ddot{x} +x=2 \sin(t) \delta'(t)+4 \cos(t) \delta(t)$$
Последнее выражение еще можно преобразовать, воспользовавшись формулой [Википедия]:
$$f(x)\delta'(t)=f(0)\delta'(x)-f'(x)\delta(x)$$
Тогда получим в левой части исходного уравнения:
$$2\delta(t)(2\cos(t)-1)$$
О ужас! Тут возникают сомнения и вопросы.
Разве так и должно быть? С прискорбием вынужден констатировать, что правая часть, представляющая из себя просто $\delta(t)$, не равна левой. Или все-таки равна? Так и должно быть? Или я где-нибудь ошибся? Ничего не понимаю, пожалуйста помогите разобраться.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение25.05.2012, 21:07 
Аватара пользователя
У Вас время $t$ произвольное или неотрицательное? Если произвольное, то обыкновенное преобразование Лапласа не работает. Воспользуйтесь преобразованием Фурье.

-- Пт май 25, 2012 22:10:08 --

Но исходя из физического смысла задачи (удар по маятнику) логично предположить, что у Вас неотрицательное $t$. Вторую половину вычислений переделайте исходя из этого.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение25.05.2012, 21:11 
Аватара пользователя
M_ike в сообщении #576321 писал(а):
Применяя свертку, получим во временной области:
Не безобразничайте: $$x(t<0)=0.$$ Это должно быть во-первых из самой постановки задачи (до воздействия маятник находился в состоянии покоя), а во-вторых, когда Вы брали обратное преобразование Лапласа, Вы получили оригинал, который равен нулю при отрицательных значениях аргумента и имеет не более чем экспоненциальный рост.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение25.05.2012, 21:34 
Поскольку уравнение линейное неоднородное, для поиска общего решения достаточно найти хоть одно частное. Вот и ищите его из соображений здравого смысла -- в виде чистого синуса, умноженного на сколько-то там сигнумов от икс.

А с решением задачи Коши не стоит даже и возиться -- сужение дельта-функции на полуось не определено. Т.е. её можно, конечно, переопределить на полуось в рамках операционного исчисления, но это уже не будет дельта-функцией в стандартном понимании.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение25.05.2012, 21:51 
Аватара пользователя
А между прочим, решение правильное. Слова о неприменимости преобразования Лапласа беру назад. Маятник стремился к положению равновесия, затем в нулевой точке испытал упругий удар, и стал двигаться в противоположную сторону. А вот проверка решения корява. У Вас $x(t)$ - две синусоиды. Если взять отсюда производную, то получится две косинусоиды, у которых в нуле сдвиг на единичную ступеньку Хевисайда. Если это продифференцировать - то получится две синусоиды плюс дельта-функция Дирака в нуле.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение25.05.2012, 23:04 
Аватара пользователя
После обратного преобразования Лапласа решение честно надо записать в виде: $$x(t)=\sigma(t)\sin(t).$$ Пробуем непосредственной проверкой убедиться, что оно удовлетворяет диф. уравнению. Ищем производную: $$x'(t)=\sigma'(t)\sin(t)+\sigma(t)\cos(t)=\delta(t)\sin(t)+\sigma(t)\cos(t).$$
Конструкция $\delta(t)\sin(t)$ представляет собою произведение обобщённой функции на бесконечно-дифференцируемую, а произведение бесконечно-дифференцируемой на всякую основную функцию - тоже будет основной функцией, то есть можно написать: $$(\delta(t)\sin(t),\varphi(t))=(\delta(t),\sin(t)\varphi(t))=\sin(0)\varphi(0)=0.$$ Тогда $\delta(t)\sin(t)=0$. Теперь для производной: $$x'(t)=\sigma(t)\cos(t).$$ Ищем вторую производную: $$x''(t)=\sigma'(t)\cos(t)-\sigma(t)\sin(t)=\delta(t)\cos(t)-\sigma(t)\sin(t).$$ Аналогично $$(\delta(t)\cos(t),\varphi(t))=(\delta(t),\cos(t)\varphi(t))=\cos(0)\varphi(0)=\varphi(0),$$ то есть $\delta(t)\cos(t)=\delta(t)$. Вторая производная: $$x''(t)=\delta(t)-\sigma(t)\sin(t).$$ Подставляем в уравнение: $$\delta(t)-\sigma(t)\sin(t)+\sigma(t)\sin(t)=\delta(t).$$

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение26.05.2012, 02:49 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #576358 писал(а):
А между прочим, решение правильное. Слова о неприменимости преобразования Лапласа беру назад. Маятник стремился к положению равновесия, затем в нулевой точке испытал упругий удар, и стал двигаться в противоположную сторону.

Тогда там не лишняя ли двоечка?

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение26.05.2012, 10:24 
Аватара пользователя
Решение неправильное вот в этом месте:
M_ike в сообщении #576321 писал(а):
Выполним обратное преобразование Лапласа, не забывая про дельта-функцию:
$$\frac 1 {1+s^2} \doteq \sin(t); \quad 1 \doteq \delta(t);$$
Применяя свертку, получим $x$ во временной области:
$$x=\int\limits_0^t \sin (\tau) \delta(t-\tau)\,d\tau=\begin{cases}
\sin (t),&\text{если $t>0$;}\\
-\sin (t),&\text{если $t<0$.}
\end{cases}=\sin (t)(2 H(t)-1)$$
Где $H(t)$ - функция Хевисайда.

Должно быть:
Выполним обратное преобразование Лапласа, не забывая про дельта-функцию:
$$\frac 1 {1+s^2} \doteq H(t)\sin(t); \quad 1 \doteq \delta(t);$$
Применяя свертку, получим $x$ во временной области:
$$x=\int\limits_0^t H(\tau)\sin (\tau) \delta(t-\tau)\,d\tau=\begin{cases}
\sin (t),&\text{если $t>0$;}\\
0,&\text{если $t<0$.}
\end{cases}=H(t)\sin (t)$$
Где $H(t)$ - функция Хевисайда.

А то что было проделано автором темы, вообще говоря, физически некорректно: зная лишь начальные условия и воздействие в момент времени $t=0$, автор вдруг получает предысторию системы, которая в данной задаче неоднозначна - система могла находиться в покое, а могла совершать гармонические колебания, а может ещё чего могла.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение26.05.2012, 15:04 
Аватара пользователя
profrotter, огромнейшее Вам человеческое спасибо! После Ваших разъяснений стали принципиально понятны не только текущая задача, но даже релевантные параграфы из Гельфанда и Шилова. Я думал, что никогда не въеду в использование обобщенных функций, же.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение26.05.2012, 15:53 
profrotter в сообщении #576512 писал(а):
$$\frac 1 {1+s^2} \doteq H(t)\sin(t); \quad 1 \doteq \delta(t);$$

Ну только последнее-то зачем? Когда и так синус. А так -- с тем же успехом можно было бы представить числитель как пятую степень единички и потом пять раз сворачивать с дельта-функцией.

И не стоит всё-таки забывать, что $\delta(t)$ в рамках операционного исчисления формально не определена. Исходная постановка задачи осмысленна лишь как предельный переход при $\varepsilon\to+0$ в задаче с функцией $\delta(t-\varepsilon)$ в правой части.

 
 
 
 Re: Задача колебания маятника с дельта-функцией в правой части
Сообщение26.05.2012, 20:22 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #576642 писал(а):
Ну только последнее-то зачем? Когда и так синус.
Синус при положительных аргументах, а при отрицательных нуль. А свёртка не знаю зачем. Не я её проделывал.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group