Забавная оценка

[arqady]

Найдите наибольшее $k$, для которого неравенство

$$(a+b+c)^7\geq k(a^2+b^2+c^2)^2|(a-b)(a-c)(b-c)|$$

верно для всех неотрицательных $a$, $b$ и $c$.

(ответ)

$\sqrt{872\sqrt2-835}$

Тот же вопрос для неравенства

$$(a^3+b^3+c^3)^2\geq k(a+b+c)^3|(a-b)(a-c)(b-c)|$$

Последнюю задачу я заменил на соответствующую ответу.

(ответ)

$\sqrt{\frac{207-33\sqrt{33}}{8}}$

[Edward_Tur]

arqady в сообщении #576264 писал(а):

Найдите наибольшее $k$, для которого неравенство

$$(a+b+c)^7\geq k(a^2+b^2+c^2)^2|(a-b)(a-c)(b-c)|$$

верно для всех неотрицательных $a$, $b$ и $c$.

(ответ)

$\sqrt{872\sqrt2-835}$

Найти ответ несложно: Положим $b=1,c=0$ и находим минимум соответствующей функции в точке $a=2+\sqrt2-\sqrt{5+4\sqrt2}$.
Осталось "только" доказать неравенство. Возможно $uvw$ методом можно доказать, что равенство достигается только для $w=0$. У меня не получилось.

[arqady]

Edward_Tur в сообщении #578062 писал(а):

[Возможно $uvw$ методом можно доказать, что равенство достигается только для $w=0$. У меня не получилось.

$uvw$ здесь очень громоздко. Имеется красивое рассуждение, приводящее к исследованию функции от одной переменной.

[TR63]

Не ограничивая общности, можно считать, что a<b<c. Тогда слева число положительное, а справа отрицательное.

-- 30.05.2012, 17:11 --

Не заметила модуль.

[MrDindows]

TR63 в сообщении #578469 писал(а):

Не ограничивая общности, можно считать, что a<b<c. Тогда слева число положительное, а справа отрицательное.

-- 30.05.2012, 17:11 --

Не заметила модуль.

Если б модуля не было, то всё-равно нельзя так считать, так как вы как раз ограничили бы общность=)

[TR63]

Не поняла. Возьмём произвольно три положительных различных числа. Расположим их в порядке возрастания. Затем присвоим им имена (a,b,c). В чём ограничение?

[MrDindows]

TR63 в сообщении #578540 писал(а):

Не поняла. Возьмём произвольно три положительных различных числа. Расположим их в порядке возрастания. Затем присвоим им имена (a,b,c). В чём ограничение?

Ограничение в том, что вы их располагаете в порядке возрастания, хотя в условии не сказано, что они расположены именно в порядке возрастания. В общем случае это делать нельзя.
Покажу например, где ваши рассуждения не верны:
Доказать неравенство:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}>a-b$
Без ограничения общности предположим, что $b>a$, тогда слева число положительное, а справа отрицательное. Неравенство доказано.
Но оно очевидно неверно, если взять $a=9, \ b=1$.

Вообще, фраза "без ограничения общности" предполагает то, что из любых значений переменных, путём некоторых преобразований, или банального переименования переменных, можно получить исходное выражение с необходимым нам ограничением на переменные.
Например:
$a^2+b^2 \ge 2ab$
Тут можно брать без ограничения общности, что $a \ge b$. Ведь, если не так, например $b \le a$, то заменив $b$ на $a$, а $a$ на $b$, мы получим исходное неравенство, где $a \ge b$.

[TR63]

Спасибо. Поняла(и самостоятельно тоже).

[Sergic Primazon]

Edward_Tur в сообщении #578062 писал(а):

arqady в сообщении #576264 писал(а):

Найдите наибольшее $k$, для которого неравенство

$$(a+b+c)^7\geq k(a^2+b^2+c^2)^2|(a-b)(a-c)(b-c)|$$

верно для всех неотрицательных $a$, $b$ и $c$.

(ответ)

$\sqrt{872\sqrt2-835}$

Найти ответ несложно: Положим $b=1,c=0$ и находим минимум соответствующей функции в точке $a=2+\sqrt2-\sqrt{5+4\sqrt2}$.
Осталось "только" доказать неравенство. Возможно $uvw$ методом можно доказать, что равенство достигается только для $w=0$. У меня не получилось.

Не нарушая общности можно считать, что : $a + b + c =1$ and $0 \le a \le b \le c$

$$k= min\left (\frac{1}{(a^2+b^2+c^2)^2(b-a)(c-a)(c-b)) \right )}$$

если $a\ne 0$ , то как легко видеть делая замену $(a,b,c) \rightarrow (0 , b , c+a)$ мы увеличиваем знаменатель дроби .

Поэтому минимум достигается при : $a=0$ . Далее делая замену : $( 0 , \frac{1}{2}-t, \frac{1}{2}+t)$ , $(t \le \frac{1}{2})$ получаем :

$$k= min\left (\frac{4}{(1-(2t)^4)t} \right)$$

$t_{min}=\frac{\sqrt{5}}{20}$ , so : $a= 0,b = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{20},c = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{20}$ and $\boxed{k_{max}=10\sqrt[4]{5}}}$

[Edward_Tur]

Sergic Primazon!

$$k= min\left (\frac{8}{(1-(2t)^4)(1+4t^2)t} \right) = \sqrt{872\sqrt2-835}$$

[Sergic Primazon]

Sergic Primazon в сообщении #580464 писал(а):

Edward_Tur в сообщении #578062 писал(а):

arqady в сообщении #576264 писал(а):

Найдите наибольшее $k$, для которого неравенство

$$(a+b+c)^7\geq k(a^2+b^2+c^2)^2|(a-b)(a-c)(b-c)|$$

верно для всех неотрицательных $a$, $b$ и $c$.

(ответ)

$\sqrt{872\sqrt2-835}$

Найти ответ несложно: Положим $b=1,c=0$ и находим минимум соответствующей функции в точке $a=2+\sqrt2-\sqrt{5+4\sqrt2}$.
Осталось "только" доказать неравенство. Возможно $uvw$ методом можно доказать, что равенство достигается только для $w=0$. У меня не получилось.

Не нарушая общности можно считать, что : $a + b + c =1$ and $0 \le a \le b \le c$

$$k= min\left (\frac{1}{(a^2+b^2+c^2)^2(b-a)(c-a)(c-b)) \right )}$$

если $a\ne 0$ , то как легко видеть делая замену $(a,b,c) \rightarrow (0 , b , c+a)$ мы увеличиваем знаменатель дроби .

Поэтому минимум достигается при : $a=0$ . Далее делая замену : $( 0 , \frac{1}{2}-t, \frac{1}{2}+t)$ , $(t \le \frac{1}{2})$ получаем :

$$k= min\left (\frac{8}{(1-(2t)^4)(1+4t^2)t} \right)$$

$$\boxed{k_{max}=\sqrt{872\sqrt2-835}}$$