Преобразования Фурье.

[ezhik]

Доказать, что в пространствах $ \mathcal S$ и $ L_2(\mathbb R)$ справедливо тождество:
$( \widehat{F}^{2}\phi)(x)=\phi(-x)$

Для решения не знаю как искать такой интеграл:
$\lim_{n\to\infty}(\int_{-n}^{n}\phi(y)e^{-ixy}dy)^{2}$

-- 24.05.2012, 23:39 --

если я вообще правильно задачу понял.

[ezhik]

Не правильно понял условие.
Правильно, что фурье действует два раза.

[ewert]

ezhik в сообщении #575916 писал(а):

Доказать, что в пространствах $ \mathcal S$ и $ L_2(\mathbb R)$ справедливо тождество:
$( \widehat{F}^{2}\phi)(x)=\phi(-x)$

Причина в том, что обратное преобразование формально выглядит ровно так же, как и прямое, только с противоположным знаком в показателе экспоненты. Если "умножить" преобразование Фурье на обратное, то мы вернёмся к исходной функции. Соответственно, если умножим прямое на прямое, то -- тоже к исходной, но с минусом перед аргументом.

Для функций из класса Шварца эти рассуждения корректны потому, что все интегралы сходятся жутко быстро. После чего на произвольные квадратично суммируемые функции это утверждение переносится по непрерывности.

[ezhik]

не понимаю, то, что вы говорите правильно, но мне же это нужно доказать. Я пробую так.
$(\widehat{F}\phi)(x)=(\widehat{F}^{-1}\phi(-x)$.
Потом хочу продифференцировать. Можно ли делать так?

[ewert]

ezhik в сообщении #578184 писал(а):

Потом хочу продифференцировать. Можно ли делать так?

Можно. Ещё можно пролопиталить и потом поперчить. Но зачем?...

Просто примените к этому равенству ещё раз преобразование Фурье.

[shtudent]

Не могу понять.

Вот получили мы уравнение:
$\int_{\mathbb R} e^{-i \lambda x} \varphi(x) dx = \int_{\mathbb R} e^{i \lambda x} \varphi(-x) dx$
Зачем здесь применять преобразование Фурье еще раз?

[ezhik]

Нужно было сделать так:
$(\widehat{F}\phi)(x)=(\widehat{F}^{-1}\phi(-x))$.
Потом замену в правой части $-y = t$ и получим левую часть.

[shtudent]

Верно.

[ewert]

Нужно было сделать так. Требуется доказать, что $\hat F^2=\hat T$, где $\hat T$ -- это оператор отражения, т.е. $(\hat T\varphi)(x)\equiv\varphi(-x)$. Другими словами, надо доказать, что $\hat T\hat F^{-1}=\hat F$. Ну это уже не надо доказывать -- это тривиально.