Задачка на равномерную непрерывность

[smisha]

Доказать, что если функция f определена и непрерывна в области $a\leqslant x <+\infty$ и существует конечный предел функции f на бесконечности, то f равномерно-непрерывна в этой области.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Если у Вас есть какие-то соображения, то хорошо бы о них написать. Ну а если нет, то лучше начинать с более простых задач.

[ewert]

И ещё полезно понимать, что доказываемое утверждение очевидно неверно.

[smisha]

ewert
С чего вы взяли? Очевидно? Тогда вам не составит труда это доказать.

[ewert]

smisha в сообщении #576208 писал(а):

С чего вы взяли?

Виноват, это я чего-то зазевался.

Сделайте какую-нибудь простенькую замену, переводящую полуось в ограниченный промежуток. Скажем: $t(x)=1-\dfrac ax$, $x(t)=\dfrac a{1-t}$. Рассмотрите функцию $g(t)=f(x(t))$. Что можно сказать о её равномерной непрерывности?... И, соответственно, о равномерной непрерывности функции $f(x)=g(t(x))$?...

[мат-ламер]

Решать можно по-разному. Возьмём произвольный $\varepsilon > 0$. По определению непрерывности в бесконечности существует её окрестность понятно с какими свойствами. Вне этой окрестности на конечном интервале функция равномерно непрерына. Тогда для этого удвоенного для надёжности $\varepsilon$ выполняется условие равномерной непрерывности на всём бесконечном отрезке. (Это всё изложено очень грубо, без деталей). Или можно так рассуждать. Присоединим к бесконечному открытому с правой стороны отрезку символическую точку - бесконечность. Это будет одноточечная компактификация исходного отрезка, т.е. компакт. Получаем непрерывную функцию, заданную на компакте, и следовательно, равномерно непрерывную. Но тут тоже детали надо продумать.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #576268 писал(а):

Но тут тоже детали надо продумать.

Ну в моём-то последнем сообщении ничего продумывать не надо. Ясно же, что суперпозиция равномерно непрерывных функций также равномерно непрерывна.