Ряд Стирлинга

[Dave]

Пусть $r_n$ - относительная погрешность формулы Стирлинга, т.е. $r_n=\frac {|s_n-f_n|} {f_n}$, где $s_n=\sqrt {2 \pi n} \left(\frac n e \right)^n$, $f_n=n!$. Докажите, что

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {r_n} {n^{\frac 3 2}}=\zeta\left(\frac 3 2\right)-\sqrt{2 \pi},$$

где $\zeta(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^x}$ - дзета-функция Римана.

[nnosipov]

Вы имеете в виду равенство

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n-1}e^{-n}}{n!}=1 \;? $$

[Dave]

nnosipov в сообщении #575720 писал(а):

Вы имеете в виду равенство

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n-1}e^{-n}}{n!}=1 \;? $$

Что это за равенство? Никогда не слышал о таком.

[nnosipov]

Но ведь $s_n<f_n$ при любом $n$. Если так, то эти два равенства (Ваше и моё) равносильны.

[Dave]

nnosipov в сообщении #575744 писал(а):

Но ведь $s_n<f_n$ при любом $n$. Если так, то эти два равенства (Ваше и моё) равносильны.

Безусловно. Тогда докажите Ваше равенство. Или приведите ссылку на доказательство, если считаете его общеизвестным.

[nnosipov]

Dave в сообщении #575745 писал(а):

Тогда докажите Ваше равенство.

Я его тоже впервые вижу Надо заглянуть в справочник. Меня смутила некоторая вычурность формулировки Вашей задачи.

[Dave]

nnosipov в сообщении #575748 писал(а):

Dave в сообщении #575745 писал(а):

Тогда докажите Ваше равенство.

Я его тоже впервые вижу Надо заглянуть в справочник. Меня смутила некоторая вычурность формулировки Вашей задачи.

Пусть будет в Вашей формулировке. Так даже красивее, не спорю. Дело в том, что изначально рассматривалась именно погрешность формулы Стирлинга, а не что-то другое. У задачи есть продолжение, которое я дам чуть позже.

[Хорхе]

nnosipov в сообщении #575720 писал(а):

Вы имеете в виду равенство

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n-1}e^{-n}}{n!}=1 \;? $$

Вот такое есть доказательство. Общеизвестно что функция деревьев Кейли

$$T(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n-1}z^n}{n!}$$

удовлетворяет уравнению

$$ T(z) = z e^{T(z)}. $$

Подставив $z=e^{-1}$, имеем $T(e^{-1}) = e^{T(e^{-1})-1}$, откуда $T(e^{-1})=1$.

[nnosipov]

Есть в справочнике "Интегралы и ряды" (Прудников, Брычков, Маричев, 1981) на стр. 707 (формула 4).

[Dave]

Хорошо, "доказали". Под "общеизвестной функцией деревьев Кейли", насколько я понял, подразумевается доказательство теоремы Кэли о числе деревьев.
Теперь обещанная вторая часть. Докажите, что

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {r_n} {\sqrt n}=\zeta\left(\frac 1 2\right)+\frac 2 3 \sqrt{2 \pi}.$$

[Хорхе]

Dave в сообщении #575787 писал(а):

Хорошо, "доказали". Под "общеизвестной функцией деревьев Кейли", насколько я понял, подразумевается доказательство теоремы Кэли о числе деревьев.

Нет. Функция деревьев Кейли - это $T(z)$, обратная функция к $ze^{-z}$. Из формулы обращения Лагранжа легко получается записанное разложение в нуле.

[Dave]

Хорхе в сообщении #575796 писал(а):

Нет. Функция деревьев Кейли - это $T(z)$, обратная функция к $ze^{-z}$.

Такого термина в Википедии не нашёл. Да и Google с Яндексом ничего путного, кроме ссылки на Ваше же сообщение на этом форуме не дают. Зато есть такая $W$-функция Ламберта, она гораздо более известна. Так вот, $T(x)=-W(-x)$.

[Хорхе]

Ну, это такой мой перевод с английского Cayley tree function Рекомендую книгу Флажоле и Седжвика (Flajolet+Sedgewick), ссылку можно найти на форуме.

[Dave]

Хорошо, спасибо, посмотрю.
А как насчёт второй части задачи? Она всё ещё не решена. Поможет ли там функция деревьев Кейли и справочник "Интегралы и ряды"?

[Хорхе]

Что-то где-то надо интегрировать, а что и где, никак не придумаю.