Кольца

[Naatikin]

Подскажите по решению:
Есть кольцо $A$ в нем выполняется $a^2=a$ для любого из А. Доказать что, А - коммутативно.

единственное к чему пока пришёл что $(a+b)^{2}=a+b$, $(ab)^2=ab$, ну а тогда
$2ab=0$ , следовательно хар-ка кольца 2.

-- 24.05.2012, 16:53 --

а нет
нужно доказать сначало, что $ab+ba=0$

[Хорхе]

Naatikin в сообщении #575627 писал(а):

единственное к чему пока пришёл что $(a+b)^{2}=a+b$, $(ab)^2=ab$, ну а тогда
$2ab=0$ , следовательно хар-ка кольца 2.

Неверно, тогда $ab+ba=0$.

Собственно, Вы все нужные для доказательства соотношения уже выписали. Надо только понять, что из них следует.

[Naatikin]

а ну вот $(x+x)^2=x^2+ x^2+x^2 +x^2=4x$ и $(x+x)^2=x+x=2x$ следовательно $2x=0$, 2- хар-ка.

-- 24.05.2012, 17:17 --

$(ab)^2=a^{2}b^2$ верное утверждение?

[Хорхе]

Naatikin в сообщении #575644 писал(а):

$(ab)^2=a^{2}b^2$ верное утверждение?

Учитывая, что $ab$, $a$ и $b$ - по условию идемпотенты, да, но, вообще говоря, нет.

[lek]

Выше показано, что $ab=-ba$. Так как характеристика поля =2, имеем $-ba=ba$. Поэтому $ab=ba$.

[Naatikin]

а что если так пусть $a=x+y, a*(x+y)=a*x+a*y, (x+y)*a=x*a+y*a$ теперь подставивь в $a=x+y$ получим $x+x*y+y*x+y$ и $x+y*x+x*y+y$ а так как кольцо коммутативно по умножению, то $a*(x+y)=(x+y)*a$

-- 24.05.2012, 17:39 --

$ab+ba=0$ это неверно же

-- 24.05.2012, 17:41 --

$ab+ab=0$

-- 24.05.2012, 17:43 --

ну и тогда $x=-x$

-- 24.05.2012, 17:46 --

$аb+ba=0$ верно

-- 24.05.2012, 17:48 --

lek Хорхе спасибо понял