Сходимость двойного ряда

[theambient]

Добрый день!

Есть ряд $\sum{\frac{1}{n^2 + m^2}}$. Интуитивно он расходится (так ли это? - проверил по коши, но я мог ошибиться).

Когда считаю в матлабе/максиме - он сходится. Как так?

код максимы:

S: sum(sum( 1/( n^2 + m^2), m, 1,N ), n, 1, N )$
ev( S, N=1100, float, sum );
10.17615092535112

[Хорхе]

А интеграл $\int_1^\infty\int_1^\infty \frac{dx\,dy}{x^2+y^2}$ сходится?

Даже лучше взять этот интеграл по всей четвертьплоскости, из которой выкинута мешающая окрестность нуля.

(Оффтоп)

Конечная сумма она всяко конечна.

[theambient]

расходится, но это вполне ожидаемо, вопрос в другом, почему в теории ряд расходится, а на практиуке он ведет себя очень хорошо?

Вообще говоря, это модельный вопрос, который возник из поведения функции грина для оператора лапласса в прямоугольнике.

Внешне картинка вполне ожидаемая, но в точке возмущения (которой и соответствует этот ряд) значения конечные, а должны уходить на бесконесность!!!

[nnosipov]

theambient в сообщении #575564 писал(а):

а на практике он ведет себя очень хорошо ...

Очень хорошо --- это как?

[Хорхе]

Ну если Вы проинтегрировали, то заметили, что там получается порядка логарифма из максимума $x$, $y$. Поэтому суммирование до тысячи, которое Вы сделали, дает немного - чуть больше логарифма $1000$.

Так что, хоть этот ряд и расходится, но расходится он довольно медленно.

[theambient]

nnosipov в сообщении #575567 писал(а):

theambient в сообщении #575564 писал(а):

а на практике он ведет себя очень хорошо ...

Очень хорошо --- это как?

вот так:

[ИСН]

Гармонический тоже вот сперва вёл себя так же "хорошо" - даже картинка похожа! - а потом двух укротителей съел и убежал.

[nnosipov]

Ну, так бы и говорили: очень хорошо --- это как логарифм.

[theambient]

Хорхе в сообщении #575573 писал(а):

Так что, хоть этот ряд и расходится, но расходится он довольно медленно.

хм, странно все это, я теперь даже не знаю чему верить =(

верить ли моим графикам (Дробно-рациональной функции от Грина) или нет, такое ощущение, что не стоит. Печально все это =(

-- Чт май 24, 2012 13:57:43 --

ИСН в сообщении #575583 писал(а):

Гармонический тоже вот сперва вёл себя так же "хорошо" - даже картинка похожа! - а потом двух укротителей съел и убежал.

Какие укротители? - чувствую, что это кино я не смотрел =)