Самый мокрый путь

[Скорцонер]

Экспериментируя с программой Google Earth (вручную), я захотел найти «самый мокрый» путь вокруг Земли, если передвигаться по дуге большого круга. Им оказался маршрут, проходящий через Дурбан (ЮАР), порт Натал (Бразилия), Юкатан, Юг Калифорнии, Западный Ириан (Новая Гвинея). Здесь длина морской составляющей пути равна примерно 31800 км, из 39940 км полной длины дуги.
Соответственно, «самая сухая» дуга большого круга нашлась такая:– Монтевидео (Уругвай), Флорида, Колыма, Биньдинь (Вьетнам). Тут достигается длина сухопутной составляющей 23600 км.
В результате у меня получилась такая задача:
На некоторой планете доля площади морей равна k. Показать, что всегда найдется дуга большого круга, на которой доля морского пути = l, где l = корню кв.(k), и аналогично для суши.
При этом для планеты Земля доля площади морей k= 0,70776, средняя длина дуги большого круга = 39940 км. Тогда гарантированная длина «мокрого» пути по этой формуле должна быть не менее 33600 км.
Соответственно, длина сухого пути по дуге большого круга получается не менее 21600 км.
Предлагается или уточнить формулу, или найти на глобусе большой круг гарантированной длины для «мокрого» пути.
С замечанием Антипки в адрес 2-й задачи (для плоскости) согласен, поэтому её снимаю. Конечно, в правильной формуле для гарантированной длины «мокрого» пути на плоскости кроме S должен присутствовать наибольший линейный поперечник страны. По поводу изложенной задачи критика не столь убедительна. Вопрос в том, чтобы дать правильную оценку гарантированной длины «мокрого пути» при заданном k на сфере остается.

[Руст]

Вроде здесь нет ничего сложного наклоняете на угол phi и считаете площади по длине пересечения.

[Антипка]

Скорцонер писал(а):

Соответствующая задача для плоскости.
Пусть в некотором государстве площадь, занимаемая водой, составляет S кв. км. Доказать, что найдется прямая линия, на которой длина водной составляющей будет равна 2*корень кв. (S/pi).

А вот это просто неверно. Рассмотрите состему из пяти круговых водоемов площадью S/5 каждый, расположенных так, что никакая прямая не пересекает более двух водоемов. Более того, можно доказать, что длину водной составляющей на произвольной прямой можно сделать сколь угодно малой.

Отсюда, собственно, следует ошибочность исходной формулы - для сферы. Действительно, устремив долю водоемов к 0, мы рано или поздно получим ситуацию, когда эти водоемы можно будет локализовать на небольшом участке сферы, который с незначительной погрешностью можно будет считать плоским, а геодезические, проходящие через этот участок - прямыми (в его пределах). Руководствуясь этой идеей, нетрудно написать строгое доказательство.