плотность полиномов

[shwedka]

Такая вот задача возникла из некоторой матфизики. Moжет, кто с чем-то похожим в личной жизни встречался....
Пусть \psi(z) гладкая вещественная функция на комплексной плоскости, отождествленной с вещественной плоскостью R^2. Пусть \Phi -какое-нибудь решение уравнения \Delta\Phi=\psi. Рассматривается пространство H_\psi целых аналитичeских функций u(z) таких, что u e^{-|z|^2+\Phi}\in L_2. Вопрос: какие условия нужно наложить на функцию \psi так, чтобы полиномы комплексной переменной z были бы плотны в H_\psi с соответствующей метрикой.
Если \psi=0, то мы получаем классическое пространство Баргманна-Сигала-Фока. Я могу доказывать эту плотность, если на бесконечности \psi(z)=o(|z|^{\delta}), \delta<-2. Но хотелось бы бОльшего.

[Руст]

На первый взгляд при $\delta >-2$ существуют контрпримеры.

[shwedka]

буду очень рада увидеть....

[Руст]

Вы предполагаете, что \psi(z) аналитическая функция от комплексной переменной? Из условия гладкая на комплексной плоскости можно интерпретировать и так.
Правда вещественная уже этому противоречит. Я считал, что именно это мешает.

[shwedka]

Руст писал(а):

Вы предполагаете, что \psi(z) аналитическая функция от комплексной переменной? Из условия гладкая на комплексной плоскости можно интерпретировать и так.
Правда вещественная уже этому противоречит. Я считал, что именно это мешает.

Ну что Вы!!! Где здесь сказано, что аналитическая? Гладкая вещественная функция на плоскости.

[Руст]

Тогда, по видимому можно усилить до $\delta<0$.

[shwedka]

Руст писал(а):

Тогда, по видимому можно усилить до $\delta<0$.

Буду рада увидеть. Какие идеи???

[Руст]

Вроде отсюда следует, что Ф растёт медленнее, чем |z|^2. Соответственно на H_z в этом случае ограничения примерно такие же, что и при $\delta <-2$. Думаю, вы и сами проработали эти мысли. Так как это далеко от моих интересов, вряд ли мои идеи могут быть полезными для вас.

[shwedka]

Руст писал(а):

Вроде отсюда следует, что Ф растёт медленнее, чем |z|^2. Соответственно на H_z в этом случае ограничения примерно такие же, что и при $\delta <-2$.

Спасибо за внимание, но ограничения СОВСЕМ другие.
Даже, скажем, поведение e^{-|z|^2} и e^{-|z|^2+\sqrt{|z|}}
разное.

[Борис Лейкин]

shwedka писал(а):

Такая вот задача возникла из некоторой матфизики. Moжет, кто с чем-то похожим в личной жизни встречался....

А где, извините, вам удалось встретиться. Я тоже хотел бы с этим встретиться.

[shwedka]

Борис Лейкин
Гамильтониан Ландау с магнитным полем, слабо отличающимся от постоянного.
Множество его основных состояний как раз и составляет рассматриваемое пространство. И для дальнейшего анализа нужна плотность полиномов.
Утешила??

[Борис Лейкин]

shwedka писал(а):

И для дальнейшего анализа нужна плотность полиномов.
Утешила??

А плотность полиномов - это, наверное, масса полиномов делённая на их объём, правильно?

[shwedka]

Борис Лейкин писал(а):

shwedka писал(а):

И для дальнейшего анализа нужна плотность полиномов.
Утешила??

А плотность полиномов - это, наверное, масса полиномов делённая на их объём, правильно?

Нет, если так считать, то полиномы сократятся....

[нг]

Борис Лейкин, Вы ничего не перепутали? Это не «Свободный полет».

[Борис Лейкин]

shwedka:
Ну как удалось решить проблему с плотностью? А какой в ней физический смысл?