Выразить интеграл через специальные функции

[deebo]

Облазил справочники интегралов - не могу найти нужный мне результат. Помогите, пожалуйста!
Можно ли выразить следующий интеграл через какие-либо (не обязательно одномерные) специальные функции?

$\int_{0}^{+\infty}(1+x^2+y^2+z^2)^{a}(1+x^2+y^2)^{b}(1+x^2)^{c}dx$

[Integrall]

Ограничения на $a, b, c$?

[deebo]

А при произвольных вещественных $a, b, c$ есть такое выражение?
Конкретно в моей задаче:
$a=-b_{1}$
$b=b_{1}-b_{2}$
$c=b_{2}-b_{3}$
$b_{1}>1/2$
$b_{2}>1$
$b_{3}>3/2$

[Vince Diesel]

Изменяя параметры, подинтегральное выражение можно записать компактнее:

$$ $\int_{0}^{+\infty}(x^2+z^2)^{a}(x^2+y^2)^{b}(1+x^2)^{c}dx$. $$

[deebo]

Конечно, в справочниках (Градштейн-Рыжик и Прудников-Брычков-Маричев) искал его в том числе и в таком виде. Но найти ни в каком виде не удалось.

Это выражение можно проинтегрировать сначала по $y$ потом по $x$ - там c точностью до множителя-константы вылезает обобщенная гипергеометрическая функция $_{3}F_{2}$

Можно проинтегрировать сначала по $z$ потом по $x$ - там вылезает $_{2}F_{1}$

В связи с этим может быть при интегрировании по $x$ там появится какой-то двумерный аналог обобщенных гипергеометрических функций? Подскажите, пожалуйста, что это могут быть за функции?

[svv]

Так Вам надо на самом деле тройной интеграл посчитать? И Вы просто спрашивали про первый шаг -- интегрирование по $x$?

[deebo]

Нет. Тройной считается достаточно просто, если интегрировать последовательно по $z, y, x$. Интересует именно интегрирование по $x$.