площадь поверхности

[vlad_light]

Задание по ЕГЭ.
Нужно найти площадь поверхности, которая получилась при вращении графика функции
$y=\cos \frac{\pi x}{2a}$, где $a>0$
вокруг оси абсцисс.
У меня получился эллипсоид (если считать, что $x\in [-a,a]$), а площадь считал по формуле: "длинна кривой"$\times 2\pi$.
Получилось
$x=\frac{2at}{\pi}, y=\cos t,$
$S=2\pi\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt {(\frac{2a}{\pi})^2+\sin ^2 t} dt$,
но последний интеграл не выражается в элементарных функциях.
Проверьте, пожалуйста!

[Алексей К.]

vlad_light в сообщении #575135 писал(а):

У меня получился эллипсоид

Как это? Из синусоиды --- зллипсоид?

-- 23 май 2012, 17:04:32 --

vlad_light в сообщении #575135 писал(а):

а площадь считал по формуле: "длинна кривой"$\times 2\pi$.

Сначала хотел спросить, где дают такие формулы, но вовремя заметил бардак с размерностями. Нет, мне такая формула не нужна.

[vlad_light]

А, кстати, может и не эллипсоид, но что-то очень похожее Если вы имеете ввиду, что внутри там должно быть пусто, тогда назовем эту фигуру "боковая поверхность эллипсоида".

Цитата:

где дают такие формулы

формулу придумал сам исходя из логических размышлений

Цитата:

но вовремя заметил бардак с размерностями.

А в чём бардак, простите? У нас фигура размерности 2, вот мы и умножаем "длинну" на "высоту"
Кстати, по поводу формулы: вот я только что посмотрел вики и нашел теорему Гульдина-Паппа:
Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

[Алексей К.]

vlad_light в сообщении #575135 писал(а):

а площадь считал по формуле: "длинна кривой"$\times 2\pi$.

Бардак в том, что люди привыкли к площадям в квадратных метрах, а умножая длину (да хоть и длиннну) на два пи, я ожидаю размерность в тех же метрах, неквадратных. Да, "длина на высоту" спасает это дело, но догадаться, что у Вас два пи включает высоту, а не коэффициент, обычно присутствующий во всяких круглостях, непросто.

Это не только не эллипсоид, но и не похоже на него. У Вашей штуки острия на концах, чего у эллипсоида и близко нет. Это или синусоид, или просто штукоид.

Вам небось нужно правильно составить интеграл, получить площадь из кусочков площади $(dS)$. Или нужно воспользоваться формулой из Википедии?

[svv]

Цитата:

формулу придумал сам исходя из логических размышлений

Это, вообще-то, очень хорошо.
В данном случае у Вас получилась бы правильная формула, если бы Вы учли, что высота не везде равна 1, а зависит от $x$. И Алексей К., увидев ещё один множитель размерности "длина", уже не возражал бы.

[vlad_light]

О, пусть будет синусоид. Я думал, что там всё гладенько на концах
Мне нужно, насколько я понял, просто найти цифру не прибегая к численным методам. А интеграл можете помочь составить, а то я в этом не силён... с чего начать хотя бы?

[ewert]

Меня вот тянет начать с вопроса: при чём тут ЕГЭ?...

[svv]

$S = 2\pi\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \, dx$
Этот интеграл отличается от Вашего вот чем:
1) Множитель $f(x)$ -- переменная высота кривой над осью абсцисс. У Вас он почему-то равен $1$.
2) Функция $f$ задаётся явно, а не параметрически. В Вашей задаче использование параметра $t$ вместо $x$ не даст выигрыша, $x$ и сам по себе хороший параметр.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Цитата:

Меня вот тянет начать с вопроса: при чём тут ЕГЭ?...

Ну то, что в универах на 4-ом курсе сдают, как называется?

Я искал длину по формуле:
$l=\int\limits_{t_1}^{t_2} |r'(t)|dt=\int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{|x'(t)|^2+|y'(t)|^2}d$t
при параметризации $x=t, y=f(t)$ получаем второй множитель под знаком интеграла.
Радиус я действительно почему-то везде посчитал равным 1, а ведь это совсем не так! Спасибо!

[Алексей К.]

vlad_light в сообщении #575193 писал(а):

$l=\int\limits_{x_1}^{x^2} |r'(t)|dt=\int\limits_{x_1}^{x^2} \sqrt{|x'(t)|^2+|y'(t)|^2}d$t

Фу, какие пределы интегрирования. В аккуратно выполненных формулах каждая ерунда глаз режет.
То, что индекс у нижнего предела Вы опустили вниз, а индекс у верхнего предела подняли вверх --- красивое решение, эстетичное, но лучше бы Вы $t_1,t^2$ там написали вместо иксов...

[vlad_light]

(Оффтоп)

Цитата:

а индекс у верхнего предела подняли вверх

Неправда, не было там такого Понимаю, что Вам это неинтересно, но я паралельно нянчу младшего брата и на два фронта голова не хочет успевать работать

[ewert]

vlad_light в сообщении #575193 писал(а):

Радиус я действительно почему-то везде посчитал равным 1, а ведь это совсем не так!

vlad_light в сообщении #575141 писал(а):

посмотрел вики и нашел теорему Гульдина-Паппа:
Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

Вы просто эту теорему недочитали. Радиус в ней действительно только один, но -- заранее неизвестный, его ещё найти надо. И с прикладной точки зрения достоинство этой теоремы лишь в том, что она существенно усложняет вычисления.