Краевая задача для "перевернутого" осциллятора

[tridl]

Добрый вечер!
В ходе решения уравнения Клейна Гордона я пришел к следующей краевой задаче:

$-\frac{d^2 f}{d x^2}-x^2 f=E f$

$f\left(0\right)=f\left(l\right)=0$

,где $E$ - собственное число

Задача отличается от классической задачи на собственные функции осциллятора только знаком при функции $f$.
Однако я не очень понимаю, как можно ее решить. И можно ли это сделать аналитически? Я смог найти только определенные частные решения при некоторых значениях $E$. Но это далеко не то, что требуется сделать.

заранее благодарен за советы.

[Munin]

tridl в сообщении #574910 писал(а):

Задача отличается от классической задачи на собственные функции осциллятора только

...тем, что это совсем другое уравнение. При $f$ стоит коэффициент, зависящий от $x.$

Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Физматлит, 2001.
Берётся на Колхозе.
Вам нужны пп. 0.2.1-1 (с. 20), 0.2.5-1 - 3 (с. 28), 2.1.2.4 (с. 157). Авось что-нибудь решится.

[ewert]

tridl в сообщении #574910 писал(а):

Задача отличается от классической задачи на собственные функции осциллятора только знаком при функции $f$.

Это -- не гармонический осциллятор, а в первую очередь потенциальный ящик, к которому лишь чуть-чуть гармоничности добавлено. И знак добавки тут уже принципиальной роли не играет. Ну будут в качестве решений не просто функции Вебера, а функции Вебера мнимого аргумента; какая разница -- аналитически так и так ничего не выпишешь.

[tridl]

Munin в сообщении #574962 писал(а):

tridl в сообщении #574910 писал(а):

Задача отличается от классической задачи на собственные функции осциллятора только

...тем, что это совсем другое уравнение. При $f$ стоит коэффициент, зависящий от $x.$

В уравнении Шредингера для гармонического осциллятора при $f$ стоит потенциальная энергия, которая, как известно, для гармонического осциллятора пропорциональна $x^2$.

Munin в сообщении #574962 писал(а):

tridl в сообщении #574910 писал(а):

Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Физматлит, 2001.

Спасибо, посмотрел. Там обсуждаются общие свойства задачи Штурма-Луивилля , они тоже полезны. Но меня не покидает надежда, что данную задачу можно как-то решить аналитически.

-- 23.05.2012, 14:18 --

ewert в сообщении #574989 писал(а):

tridl в сообщении #574910 писал(а):

Задача отличается от классической задачи на собственные функции осциллятора только знаком при функции $f$.

Ну будут в качестве решений не просто функции Вебера, а функции Вебера мнимого аргумента; какая разница -- аналитически так и так ничего не выпишешь.

Но ведь для положительного знака при $x^2$ функции Вебера преобразуются в полиномы Эрмита, которые уже вполне себе аналитичны. А для учета граничных условий, нам нужно просто найти нужную линейную комбинации этих полиномов. Или я неправ?

[ewert]

tridl в сообщении #575090 писал(а):

функции Вебера преобразуются в полиномы Эрмита,

Ни разу. Они только для всей оси нечаянно так преобразуются. А у Вас ящик.

[Munin]

Я совсем дурак. Не знаю, что со мной.

[tridl]

ewert в сообщении #575096 писал(а):

tridl в сообщении #575090 писал(а):

функции Вебера преобразуются в полиномы Эрмита,

Ни разу. Они только для всей оси нечаянно так преобразуются. А у Вас ящик.

Ясно, спасибо.