Предел обощенной функции

[shtudent]

Вы хотите сказать что это верно:
$\lvert \frac{1}{y + n^2 + i} \rvert = (\frac{1}{(y + n^2)^2 + 1})^{1/2} = (\frac{1}{y^2 + 2yn + n^2 + 1})^{1/2} < (\frac{1}{y^2 + 1})^{1/2}$.
Я сомневаюсь на счет последнего неравенства. Ведь $y \in \mathbb R$

[g______d]

Так а вы уверены в том, что решаете нужную задачу? В чем проблема решить ее ровно в этой формулировке?

shtudent в сообщении #573868 писал(а):

Пространство $\varepsilon$ - это линейное пространство $C ^{\infty}(\mathbb R)$, снабженное системой полунорм:
$p_{N,n}(f) := \max{\lbrace |f^{(k)}(t)| : k = 0, 1, \cdots , n; t \in [-N, N] \rbrace}$, $n = 0, 1, 2, \cdots; N = 1, 2, \cdots.$

Нужно найти предел последовательности : $f_n(t) = \frac{1}{t + n + i/n}$ в пространстве $\varepsilon$.

[Integrall]

shtudent в сообщении #574667 писал(а):

Я сомневаюсь на счет последнего неравенства. Ведь $y \in \mathbb R$

вам не удастся оценить $f_n$ на всей числовой оси, так как $f_n$ не ограничено по $n$

$f_n(t) = \frac{1}{t + n + i/n}
$\max_t {\lvert f_n(t)\rvert} = n$ достигается в точке $t = -n$

поэтому нужно использовать финитность функций $\varphi$, т.е. что $supp \varphi$ лежит в некотором интервале $[-N, N]$.

[shtudent]

Поэтому, нужно сделать так:
$\lvert \frac{\varphi(y)}{y + n^2 + i} \rvert = \frac{\lvert \varphi(t) \rvert}{((y + n^2)^2 + 1)^{1/2}} < \frac{\lvert \varphi(t) \rvert}{y}$ ?
А интеграл от функций $\frac{\lvert \varphi(t) \rvert}{y}$ на $\mathbb R$ в смысле главного значения существует. Только вопрос еще, как его посчитать?

[Integrall]

shtudent в сообщении #574824 писал(а):

Только вопрос еще, как его посчитать?

так вы ничего не добьетесь. Посмотрите на мой предыдущий пост.

Из него следует: при всех $n$ выполняется $\lvert f_n(t) \varphi(t)\rvert \leqslant N\lvert\varphi(t)\rvert$, $t \in \mathbb R$. Интеграл $N \cdot\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(t)|\,dt$ существует. Следовательно, можно использовать теорему Лебега о мажорантной сходимости.