Релятивистская модель сплошной среды

[EvilPhysicist]

Собственно я заинтересовался, если ли релятивистская модель сплошной среды и из книжек под рукой была только гидродинамика Ландавшица, по этому во-первых, пожалуйста, порекомендуйте литературу по этой теме.

Во-вторых, я попытался создать простую модель релятивистской среды, и хотелось бы проверить её адекватность.


Первая, самая простая модель: масса непрерывным образом распределена по плоскому пространству пространству-времени, $ c= \hbar =1 $ и тяготения нет, $ \eta_{ik} = \operatorname{diag}(+---) $ и греческие индексы пробегают значения $0\cdots 3$ а латинские $1 \cdots3$.
Действие будет $ S= \int \left( j^0 + j^\mu F_\mu \right) d^4 x $, где $ j^\mu=(\rho, \vec j) $ - 4-ток вещества, причём непрерывный $ \partial_\mu j^\mu =0 $ и никаких условий на $F^\mu=(\phi, \vec F)$ не накладывается.

Тогда получается, что $ \delta S = \int \left( (1+F_0 ) \cfrac{\partial j^0}{\partial s} - F_k \cfrac{\partial j^k}{\partial s} \right) \delta S d^4x =0 $ и уравнения движения
$ (1+\phi) \cfrac{\partial \rho}{\partial t} + \vec F \cdot \cfrac{\partial \vec j}{\partial t} =0 $ плюс уравнение непрерывности $ \cfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \vec j=0 $. Проблема в том, что в них не содержится уравнений, описывающих зависимость $\rho$ от координат.

В тривиальном случае $ F^\mu=0 $ не трудно получить, что $ \cfrac{\partial \rho}{\partial t}=0 $ и $ \nablda \vec j=0 $, что и должно быть.

Менее тривиальный случай $ \phi =0, \vec F = -k \cfrac{\vec r}{r^2}, k >0 , \vec j=j(t) \vec r, \rho=\rho(t, r) $ причём $ \lim\limits_{t \to \infty} \vec j =0, \lim\limits_{t \to \infty} \rho = \delta(\vec r), j(0)<0, \rho(0)= \rho_0 e^{- r^2} $ и уравнения движения $\begin{matrix} \cfrac{\partial \rho}{\partial t} -k \cfrac{\partial j(t)}{\partial t} =0 \\ \cfrac{\partial \rho}{\partial t} + 3 j(t)=0 \end{matrix}$, откуда не трудно вывести $ \cfrac{\partial j}{\partial t}= - \cfrac{3}{k} j $, чьё решение $j(t)=j_0 e^{-\cfrac{3}{k} t}$ удовлетворяет граничным условиям. Так же не трудно получить, что $ \rho(t)= - j_0 k e^{- \cfrac{3}{k}t} $, но тут сказывается нехватка уравнений для $\rho$ и восстановить $\rho$ не возможно.


Есть и другая модель. В общем-то всё тоже самое, только действие имеет вид

$$ \int \left( \cfrac14 I_{\mu\nu} I^{\mu \nu} - \cfrac{J}{2} j_\mu j^\mu + \cfrac14 F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - \cfrac{m^2}{2} A_\nu A^\nu + M^2 A_\nu j^\nu \right) d^4 x $$

, где $ j^\mu =(\rho, \vec j) $ - 4-ток вещества, причём непрерывный; $ I_{\mu \nu} = \partial_\mu j_\nu - \partial_\nu j_\mu $; $J $ - параметр, инертность вещества; $A_\nu$ - 4-потенциалы массивного векторного поля с массой $m$; $F_{\mu\nu}= \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$; $M$ - характерная масса взаимодействия вещества с полем.

Считая заданными потенциалы полей и варьируя только токи вещества $ \delta S = \int d^4 x \left( -\partial_\mu I^{\mu\nu} - J^2 j^\nu +M^2 A^\nu \right) \delta j_\nu $ и уравнения движения

$$ \partial_\mu \partial^\mu j^\nu +J^2 j^\nu=M^2 A^\nu $$

Которые в далжны решаться в общем случае и при $J=0$ давать решение аналогичное запаздывающим потенциалам, и при малых $J$ к нему будут добавляться незначительные возмущения. Правда это решение всегда будет содержать сложное интегрирование.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #574623 писал(а):

Собственно я заинтересовался, если ли релятивистская модель сплошной среды и из книжек под рукой была только гидродинамика Ландавшица, по этому во-первых, пожалуйста, порекомендуйте литературу по этой теме.

Толмен Р. Теория относительности, термодинамика и космология. Наука, 1974.
Брать на Колхозе.