Спектр интегрального оператора

[shtudent]

Найти спектр интегрального оператора в $\L^{2}(0, 1)$ с ядром $K(t, s) = \min{\lbrace t, s\rbrace}$. Можете подробнее объяснить? Я попытался найти решение уравнения $(Ax)(t) = \lambda x(t)$ Но ничего хорошего не получил.

[ewert]

Да всё в ту же сторону. Продифференцируйте пару раз результат действия этого оператора -- и получите в качестве обратного соотв. оператор Штурма-Лиувилля.

[shtudent]

Упс, я ошибся когда вводил. Там не $\min$ а $\max$

[ewert]

Какая разница -- всё равно Штурм-Лиувилль получится. Правда, с граничным условием третьего типа, так что явно спектр не выписать.

[Хорхе]

Да нет, спектр явно выписывается, это же бубль-гум лапласиан ковариация винеровского процесса. Пару раз дифференцируем уравнение, получается что-то до боли знакомое. Вполне пушистые краевые условия имеем из исходного уравнения и первой производной: $x(0)=x(1)=0$.

[ewert]

Хорхе в сообщении #574493 писал(а):

Вполне пушистые краевые условия имеем из исходного уравнения и первой производной: $x(0)=x(1)=0$.

Там будет $x'(0)=0$ и $x'(1)=x(1)$.

[Хорхе]

Тьху, штрих потерял: $x(0)=x'(1)=0$. (Но это для минимума, а я тут внезапно заметил, что shtudent на максимум переиграл мой родной винеровский процесс.)

Для максимума, конечно, никакой красоты. Там же Лапласиан с обратным знаком и вместо красивых синусов некрасивые косинусы, один из которых гиперболический.

[ewert]

Вот именно что для максимума:

$$y(t)=\int\limits_0^1\max\{t,s\}\,x(s)\,ds=\int\limits_{s<t}t\,x(s)\,ds+\int\limits_{s>t}s\,x(s)\,ds=t\int\limits_0^tx(s)\,ds+\int\limits_t^1s\,x(s)\,ds, \qquad y'(t)=\int\limits_0^tx(s)\,ds.$$

Для минимума:

$$y(t)=\int\limits_0^1\min\{t,s\}\,x(s)\,ds=\int\limits_{s<t}s\,x(s)\,ds+\int\limits_{s>t}t\,x(s)\,ds=\int\limits_0^ts\,x(s)\,ds+t\int\limits_t^1x(s)\,ds, \qquad y'(t)=\int\limits_t^1x(s)\,ds,$$

так что действительно $y(0)=0,\ y'(1)=0$.

Хорхе в сообщении #574578 писал(а):

вместо красивых синусов некрасивые гиперболические косинусы.

Обычные синусы (точнее, тангенсы) там тоже будут, и ровно настолько же некрасивые, как и (единственный) гиперболический.