Поток суммы градиентов от расстояния до источников

[Peek-A-Boo]

Помогите пожалуйста со следующей задачей:
Требуется найти поток вектора
$A(r)=\sum_{i=1}^{n}\grad{(-\frac{e_i}{4\pi r_i})}$
, где $e_i$ - постоянные, $r_i$ - расстояния от точек $M_i$ до переменной точки $M(r)$, через замкнутую поверхность S, окружающую точки $M_i$.
Сначала я пытаюсь выразить компоненты заданного векторного поля через координаты x,y,z (пусть пока будет трехмерный случай), получается сумма огромных дробей. Дальше проблема в том, что о поверхности ничего не известно, кроме того, что она окружает точки $M_i$, поэтому и интеграл взять не представляется возможным.

[svv]

Вы можете, используя для векторов обозначения $\mathbf a$ или $\vec a$, показать, где здесь векторы, а где скаляры, а то непонятно, почему функция $A(r)$ векторная.

-- Вс май 20, 2012 17:08:58 --

Аааа, всё понятно. Вы честно набрали там \grad, а он взял и не пропечатался.
К сожалению, не всякий оператор можно так набирать.
Символы $\operatorname{grad}$ ($\operatorname{div}$, $\operatorname{rot}$) набирайте так: \operatorname{grad} или \mathrm{grad}.

[svv]

Итак, надо найти поток через $S$ поля
$\mathbf A(\mathbf r)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{grad}\left(-\frac{e_i}{4\pi r_i}\right)$

Ну, во-первых, поток суммы полей равен сумме потоков каждого поля, так что можно сначала рассмотреть поток одного слагаемого. Поэтому зафиксируем $i$ и рассмотрим поток поля $\mathbf A_i(\mathbf r)=\operatorname{grad}\left(-\frac{e_i}{4\pi r_i}\right)$

Внутреннюю область, ограниченную поверхностью $S$, назовем $G$. Окружим точку $M_i$ шаром $B_i$, с центром в $M_i$, радиуса настолько малого, чтобы шар находился внутри $G$.

Рассмотрим область $G \setminus B_i$. Её граница $\partial (G \setminus B_i)$ состоит из двух частей: $S$ и сферы $S_i=\partial B_i$.
Найдём поток $\mathbf A_i$ через $\partial (G \setminus B_i)$. По теореме Гаусса-Остроградского он равен интегралу по $G \setminus B_i$ от скалярной функции
$\operatorname{div}\operatorname{grad}\left(-\frac{e_i}{4\pi r_i}\right)=-\frac{e_i}{4\pi}\Delta\frac{1}{r_i}$
Но $\Delta\frac{1}{r_i}$ равен нулю (в любой точке $r_i\neq 0$, ради выполнения этого условия я и окружил точку $M_i$ шаром $B_i$). Значит, и поток $\mathbf A_i$ через $\partial (G \setminus B_i)$ равен нулю.

Это означает, что поток $\mathbf A_i$ через $S$ равен минус потоку через сферу $S_i=\partial B_i$ (если на сфере нормаль внешняя к $G \setminus B_i$, т.е. внутренняя к $S_i$). Или плюс потоку через сферу, если нормаль внешняя к $S_i$.

Дальше, я думаю, всё понятно. Ведь поток $\mathbf A_i$ через сферу легко находится в силу симметрии.

[Peek-A-Boo]

Большое спасибо.