Производная. Школьные задания.

[Fanday]

Здравствуйте.

У меня несколько вопросов, и очень надеюсь, что сегодня я разберусь с каждым из них. Очень надеюсь на вашу помощь.

Думаю, что пока вопросы буду по одному писать.

И так, первое задание звучит так: "Найти наименьшее и наибольшее значение функции".
К примеру, дана функция:

$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x+10$ на отрезке $[0;1]$

Решаю так:
1) Нахожу производную: $y'=x^2-5x+6$
2) Приравнивая к нулю, нахожу критические точки: $x_1=2;$ $x_2=3$
3) Черчу линию, отмечаю эти две точки. Ветви направлены вверх, поэтому точка 2 - максимум, точка 3 - минимум. Значит:
- от бесконечности до двух функция возрастает,
- от двух до трех убывает,
- от трех до бесконечности возрастает.
4) Так как от бесконечности до двух функция возрастает, то из отрезка $[0;1]$ наименьшим значением будет $0$, а наибольшим - $1$.

Всё ли верно?
Если да, то объясните, пожалуйста, почему я находил производную? Лично меня заставило это сделать только то, что степень икса со степенью знаменателя совпадает. Это мне намекнуло, что производную находить, таки, надо. А смысл, почему нахожу я её, не понял.

Спасибо. Это был первый вопрос.

[miflin]

Если нужно найти максимум и минимум функции на отрезке, то находят
экстремальные точки (точки локальных минимумов и максимумов) -
с помощью производной = 0. Причем, неважно, существуют ли они
(вторую производную не анализируют). Затем вычисляют значения
функции в этих точках, на концах отрезка, и сравнивают.
Это если функция непрерывна и конечна на интервале. И всё.

Математики поправят меня и уточнят, если что.

upd
А производную вы находили хотя бы потому, что многочлен 3-й степени
может иметь до двух экстремумов.

[Fanday]

miflin
Спасибо большое за ответ. Вопрос:

Цитата:

Если да, то объясните, пожалуйста, почему я находил производную?

уточню посредством другого примера.
Задание то же: "Найти наименьшее и наибольшее значение функции".

$y=\cos x-\sqrt {3} \sin x$ на отрезке $[-\pi;0] $

Вот объясните, нельзя ли мне просто решить это и отобрать корни? Потом из этих корней сказать, что больше, а что меньше. Неверно это? Тоже через производную?

[miflin]

Fanday в сообщении #574088 писал(а):

отобрать корни

Что значит - отобрать корни? Найти нули функции?
А при чем тогда здесь максимум и минимум?

[Fanday]

Цитата:

Что значит - отобрать корни? Найти нули функции?

Меня только сейчас осенило. Я ведь не имею права приравнивать к нулю его. У меня же не пример, а функция, у которой ни икса, ни игрека нет. Значит через производную.
Так, всё, решаю.
Скажите, если ошибся.

$y=\cos x-\sqrt{3} \sin x$

$y'=-\sin x - \sqrt{3} \cos x$

$-\sin x=\sqrt{3} \cos x$

Делю на $\cos x$ (так ведь можно?)

$-\tg x=\sqrt{3}$

$\tg x = - \sqrt{3}$

$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$

А вот что дальше делать, ума не приложу. Максимум, минимум, откуда?
Если отобрать корни (что значит найти значения, принадлежащие данному отрезку), то будет один-единственный корень.

-- 21.05.2012, 15:53 --

Цитата:

А вот что дальше делать, ума не приложу.

Вы уж извините, но мне бы до завтра не плохо бы понять. Не нужно мне решать, только подскажите, пожалуйста, ход решения.

[miflin]

Перебирая $n=0, \pm1, \pm 2 ...$, вы найдете одно значение ($n=0$), при котором $x$ попадает в заданный интервал.
Вычисляете значение функции в этой точке, на концах отрезка, сравниваете...

[Praded]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале, необходимо найти экстремумы функции, попадающие в данный интервал, и вычислить значения функции на границах интервала. Остаётся сравнить все найденные значения функции.

[Fanday]

Огромнейшее спасибо за то, что отвечаете.

miflin в сообщении #574122 писал(а):

Перебирая $n=0, \pm1, \pm 2 ...$, вы найдете одно значение ($n=0$), при котором $x$ попадает в заданный интервал.

Я обычно не перебираю, а по кругу смотрю. Да, вижу, что в заданный отрезок подпадает только $-\frac{\pi}{3}$

Цитата:

Вычисляете значение функции в этой точке, на концах отрезка, сравниваете...

Хотите сказать, что нужно подставить сюда ->

$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x+10$

<- значения:

$x=0;$

$x=1; $

$x=\frac{\pi}{3}.$
?

Так... Мне нужно найти наибольшее и наименьшее значения. Значение - игрек. Поэтому я подставляю иксы и смотрю, что из них больше и что меньше. Так?

[miflin]

Fanday в сообщении #574128 писал(а):

Хотите сказать, что нужно подставить сюда ->

Приехали...
Речь вроде шла о тригонометрии...

[Fanday]

Цитата:

Приехали...
Речь вроде шла о тригонометрии...

Сорри, не оттуда скопировал. Туплю.
$y=\cos x-\sqrt{3} \sin x$

[miflin]

Fanday в сообщении #574131 писал(а):

Сорри, не оттуда скопировал. Туплю.

А в тригонометрию: $-\pi$, $-\frac{\pi}{3}$, $0$

[Fanday]

miflin
Большое вам спасибо. Очень помогли, очень. Простите за тупость.

Ещё один вопрос есть.

Мне нужно найти диагональ прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 и 24 и имеющего с ним общий прямой угол.

Здесь никаких догадок, предположений. Впервые встречаюсь с подобного рода задачами. С чего начать?

P.S. Это нормально, что я новую тему не начал?

[Praded]

Fanday в сообщении #574141 писал(а):

С чего начать?

С вычисления площади прямоугольника. Обозначаете одну его сторону за $x$, находите вторую сторону из подобия и площадь. Находите производную, приравниваете её нулю. Находите неизвестное. А там до диагонали совсем близко.

[Fanday]

Praded
Спасибо за ответ.

Цитата:

находите вторую сторону из подобия

Вот тут не уловил я, из какого подобия?

[Praded]

Из подобия треугольников.