Период решения ДУ

[srm]

Здравствуйте.

Имеется ДУ: $\alpha\left(\vartheta\right)\ddot{\vartheta}+\beta\left(\vartheta\right)\dot{\vartheta}^{2}+\gamma\left(\vartheta\right)=0$, где $\alpha\left(\vartheta\right) \ne 0$. Все функции являются вещественными.

Известно, что частное решение при $\vartheta(0) = 0.6, \dot{\vartheta}(0) = 0$ является периодическим. Требуется численно найти его период.

Как решать?
1. Находим общее решение $\int_{\vartheta_{0}}^{\vartheta}\frac{\exp\left\{ \psi\left(\vartheta_{0},v\right)\right\} dv}{\pm\sqrt{\dot{\vartheta}_{0}^{2}-2\int_{\vartheta_{0}}^{v}\frac{\gamma\left(w\right)}{\alpha\left(w\right)}\exp\left\{ 2\psi\left(\vartheta_{0},w\right)\right\} dw}}=t-t_{0}$,
где $\psi\left(\vartheta_{0},\vartheta\right)=\int_{\vartheta_{0}}^{\vartheta}\frac{\beta\left(s\right)}{\alpha\left(s\right)}ds$.

2. Можно найти половину периода, в данном случае будет совпадать со временем движения в течении которого фазовая траектория находится в положительной полуплоскости фазовой плоскости. Для этого нужно найти точку пересечения $\vartheta^{*}$ фазовой траектории с осью абсцисс: $\int_{\vartheta_{0}}^{\vartheta^{*}}\frac{\gamma\left(w\right)}{\alpha\left(w\right)}\exp\left\{ 2\psi\left(\vartheta_{0},w\right)\right\} dw = 0$ (1)

3. Зная точку $\vartheta^{*}$, можно найти период: $\int_{\vartheta_{0}}^{\vartheta^*}\frac{\exp\left\{ \psi\left(\vartheta_{0},v\right)\right\} dv}{\pm\sqrt{\dot{\vartheta}_{0}^{2}-2\int_{\vartheta_{0}}^{v}\frac{\gamma\left(w\right)}{\alpha\left(w\right)}\exp\left\{ 2\psi\left(\vartheta_{0},w\right)\right\} dw}}=\frac{T}{2}$.

Проблема в том, что математические пакеты не хотят решать уравнение (1). Maple почему-то выдаёт комплексные корни, SciLab говорит, что решение расходится (не знаю, каким методом он пытается его решить).

Функции $\alpha, \beta, \gamma$ довольно громоздкие. Я приведу график интеграла как функции верхнего предела (1)

и её производной


Насколько видно из графиков, подобрать соответствующие коэффициенты для сходимости, скажем, алгоритма секущих вполне возможно.

[Vince Diesel]

В maple можно попробовать начальную точку задать поближе к решению. А если не получается, почему бы и вручную не написать метод Ньютона, там же одна рекуррентная формула всего?

[Yu_K]

srm в сообщении #574065 писал(а):

Имеется ДУ: $\alpha\left(\vartheta\right)\ddot{\vartheta}+\beta\left(\vartheta\right)\dot{\vartheta}^{2}+\gamma\left(\vartheta\right)=0$, где $\alpha\left(\vartheta\right) \ne 0$. Все функции являются вещественными.

Известно, что частное решение при $\vartheta(0) = 0.6, \dot{\vartheta}(0) = 0$ является периодическим. Требуется численно найти его период.

Смущает фраза

Цитата:

Можно найти половину периода, в данном случае будет совпадать со временем движения в течении которого фазовая траектория находится в положительной полуплоскости фазовой плоскости.

- кажется решение вовсе не обязано ровно половину времени находиться в положительной полуплоскости фазовой плоскости.

Начните с простого примера - как Вы будете здесь численно искать период для уравнения $\ddot{\vartheta}+\vartheta=0$. Можно сспользовать что-то типа метода стрельбы. Решаем задачу Коши на отрезке от нуля до $T$ и пытаемся подобрать $T$, чтобы вернуться в исходное положение фазовой плоскости.

И картинку нарисуйте в фазовой плоскости - будет удобней.

[srm]

Yu_K в сообщении #574075 писал(а):

- кажется решение вовсе не обязано ровно половину времени находиться в положительной полуплоскости фазовой плоскости.

Не знаю точно, не проверял. Но фазовый портрет симметричен относительно оси абсцисс:

Yu_K в сообщении #574075 писал(а):

Начните с простого примера - как Вы будете здесь численно искать период для уравнения . Можно сспользовать что-то типа метода стрельбы. Решаем задачу Коши на отрезке от нуля до и пытаемся подобрать , чтобы вернуться в исходное положение фазовой плоскости.

И картинку нарисуйте в фазовой плоскости - будет удобней.

Что даст рассмотрение линейного ДУ?
Хотелось бы поточней определить период. По полученному численно решению вычислять значение периода довольно плохо. Там очень большая ошибка получается. Я хочу сравнить этот метод вычисления периода с тем и посмотреть какой будет точнее. Хотя, тут тоже ничего хорошего - 3 вложенных интеграла.

-- Пн май 21, 2012 15:20:43 --

Vince Diesel в сообщении #574073 писал(а):

А если не получается, почему бы и вручную не написать метод Ньютона, там же одна рекуррентная формула всего?

Не люблю изобретать велосипеды. Придётся, конечно, писать самому, если не удастся запустить имеющуюся функциональность.

[Yu_K]

А внутри центр или фокус - может тут куча периодических решений? И раз уж численно считаете - на хорошем известном решении и проверьте точность своего подхода. Не должно быть большой ошибки. http://dxdy.ru/topic56802.html - вот здесь немного было.

[srm]

Yu_K в сообщении #574082 писал(а):

А внутри центр или фокус - может тут куча периодических решений?

Нет, там центр.

Yu_K в сообщении #574082 писал(а):

http://dxdy.ru/topic56802.html - вот здесь немного было.

Как численно решать ДУ я знаю. Проблема не в этом. Период через численно полученную траекторию у меня уже рассчитан. Есть некоторые сомнения по поводу результата, полученного таким образом.

[Yu_K]

А на каких точных решениях проверяли свой подход - там тоже большая ошибка?

[srm]

Yu_K в сообщении #574089 писал(а):

А на каких точных решениях проверяли свой подход - там тоже большая ошибка?

Я не проверял. Проблема в том, что в линейном ДУ коэффициент $\beta$ равен нулю - вылетает часть интегралов. Так что толку от подобной проверки ноль. Можно, конечно, подобрать такие функции $\alpha, \beta, \gamma$, чтобы интегралы брались аналитически...

[Yu_K]

Но тут конечно для тестового расчета лучше от решения периодического перейти к уравнению - сложненькому нелинейному с ненулевыми коэффициентом - но это будет уравнение с априорно известным периодом решения и на нем проверить свой подход - если будет ошибка большая - значит Ваш подход "кривой"

[srm]

Всё фигня. Интеграл $\int_{\vartheta_{0}}^{\vartheta^*}\frac{\exp\left\{ \psi\left(\vartheta_{0},v\right)\right\} dv}{\pm\sqrt{\dot{\vartheta}_{0}^{2}-2\int_{\vartheta_{0}}^{v}\frac{\gamma\left(w\right)}{\alpha\left(w\right)}\exp\left\{ 2\psi\left(\vartheta_{0},w\right)\right\} dw}}=\frac{T}{2}$ является несобственным, так что вряд ли тут получишь точный результат.

[Yu_K]

http://www.ega-math.narod.ru/Arnold.htm - есть задачка 54 в тривиуме Арнольда, там похожая ситуация - несобственные эллиптические интегралы. Интересно там получается когда 3-4 и больше потенциальных ямы.