Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?

Andrei94 · 21.05.2012, 01:02

Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?

Или же уравнение всегда имеет решение, но может не иметь корней.

Допустим мы ищем вещественные корни уравнения $x^2+1=0$

Вещественных корней уравнение не имеет, следует ли из этого, что оно не имеет решений? Или оно имеет решение такое, что корней нет?

Vova_Gidro · 21.05.2012, 01:17

Andrei94
Это уравнение имеет комплексные корни. Или вернее, оно не имеет корней в поле действительных чисел, но имеет корни в поле комплексных.

shwedka · 21.05.2012, 01:32

Надо соблюдать терминологию. Тогда не будет путаницы.

Корни бывают у многочленов, Решения бывают у уравнений. Не наоборот.
Обсуждаемое уравнение имеет комплексные решения, не имеет вещественных.
Многочлен $x^2+1$
имеет комплексные корни, не имеет вещественных.

nnosipov · 21.05.2012, 07:31

shwedka в сообщении #573946 писал(а):

Надо соблюдать терминологию.

В школьных учебниках/задачниках фраза "найдите корни уравнения" встречается столь же часто, как и фраза "решите уравнение" (при этом уравнения могут быть самых разных типов). Это уже устоявшаяся терминология, и обычно проблема не в ней, а в правильном понимании смысла этих фраз.

Portnov · 21.05.2012, 07:58

С терминологией в самой-то математике не всё гладко, а уж в школьных учебниках... Топикстартера, насколько я понимаю, окончательно запутало используемое в учебниках невнятное понятие «решение задачи», которое действительно неясно как связано с решениями уравнений. Например: задача «решить уравнение $x^2+1=0$ » имеет ли решение? Ученик в тетради пишет: «перенесём 1 в правую часть, получится $x^2=-1$ ; но квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений». Всё правильно, у уравнения решений нет. Но вот это, то что ученик в тетради написал — что это, если не решение задачи?

В некоторых учебниках (правда, только во втузовских, почему-то) я видел в начале определение «Решить уравнение — значит найти все решения уравнения, или доказать, что уравнение не имеет решений». Может быть, в каких-то из школьных учебниках такое тоже присутствует. Такое определение вносит какую-то ясность, но само мне не очень нравится. «Решить — значит доказать, что решения нет» — это уже Кристобалем Хозеевичем попахивает :)

nnosipov · 21.05.2012, 08:36

Portnov в сообщении #573974 писал(а):

С терминологией в самой-то математике не всё гладко, а уж в школьных учебниках...

Не надо сгущать краски. В данном вопросе школьная терминология вполне адекватна.

Andrei94 · 21.05.2012, 11:37

shwedka в сообщении #573946 писал(а):

Надо соблюдать терминологию. Тогда не будет путаницы.

Корни бывают у многочленов, Решения бывают у уравнений. Не наоборот.
Обсуждаемое уравнение имеет комплексные решения, не имеет вещественных.
Многочлен $x^2+1$
имеет комплексные корни, не имеет вещественных.

Т.е. Найти решение -- это более общее понятие, которое в себя включает нахождение корней (когда речь идет о многочленах)? Т.е. По отношению к многочленам -- это одно и тоже, а если рассматривать $\sin x=0$ , то тут можно лишь найти решения, а корней тут нет, так?

mihailm · 21.05.2012, 19:22

shwedka в сообщении #573946 писал(а):

Надо соблюдать терминологию. Тогда не будет путаницы.

Корни бывают у многочленов, Решения бывают у уравнений. Не наоборот.
Обсуждаемое уравнение имеет комплексные решения, не имеет вещественных.
Многочлен $x^2+1$
имеет комплексные корни, не имеет вещественных.

Ну уж нет.
Корни и решения это одно и тоже для уравнений с одним неизвестным
Для нескольких неизвестных решение корнем редко называется и вообще как то не звучит

Munin · 21.05.2012, 19:30

mihailm в сообщении #574243 писал(а):

Корни и решения это одно и тоже для уравнений с одним неизвестным
Для нескольких неизвестных решение корнем редко называется и вообще как то не звучит

Я и в одномерном случае могу привести пример, когда "не звучит". $\lvert x\rvert+x=0,$ и вариации на тему.