Логарифмы, неравенство

[Keter]

Найдите все $x$ из отрезка $[0; 2\pi]$, для которых $\log_{\sin x} \cos x > \log_{\ctg x} \cos x$

$\log_{\sin x} \cos x > \log_{\ctg x} \cos x$

$D(f) = \begin{cases} x \in [0; 2\pi], \\ \sin x > 0, \\ \sin x \ne 1, \\ \cos x >0, \\ \ctg x >0, \\ \ctg x \ne 1; \end{cases} \Rightarrow x \in \Big( 0; \frac{\pi}{4} \Big) \cup \Big( \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \Big)$

$$\frac{\log_{\cos x} \cos x}{\log_{\cos x} \sin x} > \frac{\log_{\cos x} \cos x}{\log_{\cos x} \ctg x}$$

$$\frac{1}{\log_{\cos x} \sin x} > \frac{1}{\log_{\cos x} \ctg x}$$

$$\frac{\log_{\cos x} \sin x - \log_{\cos x} \ctg x}{\log_{\cos x} \sin x \cdot \log_{\cos x} \ctg x} > 0$$

$$\frac{\log_{\cos x}\frac{\sin x}{\ctg x}}{\log_{\cos x} \sin x \cdot \log_{\cos x} \ctg x} > 0$$

$$\frac{\log_{\cos x}\frac{\sin^2 x}{\cos x}}{\log_{\cos x} \sin x \cdot \log_{\cos x} \ctg x} > 0$$

$$\frac{\log_{\cos x} \sin^2 x - \log_{\cos x} \cos x}{\log_{\cos x} \sin x \cdot \log_{\cos x} \ctg x} > 0$$

$$\frac{\log_{\cos x} \sin^2 x - \log_{\cos x} \cos x}{\log_{\cos x} \sin x \cdot \log_{\cos x} \ctg x - \log_{\cos x} 1} > 0$$

Правильно ли на этом этапе перейти к такому неравенству?

$$\frac{\sin^2 x - \cos x}{\sin x \ctg x -1} < 0 $$

[bot]

Нет. Ещё и раньше ошибки были, но последняя уже ни в какие ворота. Вы просто предлагаете выбросить логарифмы?

[gris]

А чего бы сразу не избавится от котангенса? Ну после перехода к основанию "косинус"?

[Keter]

Исправил:

$$\frac{\log_{\cos x} \cos x}{\log_{\cos x} \sin x} > \frac{\log_{\cos x} \cos x}{\log_{\cos x} \ctg x}$$

$$\frac{1}{\log_{\cos x} \sin x} > \frac{1}{\log_{\cos x} \ctg x}$$

$$\frac{1}{\log_{\cos x} \sin x} > \frac{1}{1 - \log_{\cos x} \sin x}$$

$$\frac{1 - \log_{\cos x} \sin x - \log_{\cos x} \sin x}{(1 - \log_{\cos x} \sin x)\log_{\cos x} \sin x} > 0$$

$$\frac{\log_{\cos x} \sin^2 x - 1}{\log_{\cos x} \sin x(\log_{\cos x} \sin x - 1)} < 0$$

[Praded]

А знак неравенства в последней строке зачем сменили?
PS. Обозначаете далее $y=\log_{\cos x}\sin x$ и решаете методом интервалов.

[Keter]

Praded в сообщении #573835 писал(а):

А знак неравенства в последней строке зачем сменили?
PS. Обозначаете далее $y=\log_{\cos x}\sin x$ и решаете методом интервалов.

Знак неравенства... ну чтобы потом не менять

$$\frac{y -0,5}{y(y - 1)} < 0$$

$y \in (- \infty; 0) \cup (0,5; 1)$

$ \begin{cases} \log_{\cos x} \sin x > 0,5,\\ \log_{\cos x} \sin x < 1.\\ \end{cases} $ или $\log_{\cos x} \sin x < 0$

С учетом $D(f)$

$\log_{\cos x} \sin x < 0$ - не имеет решений

$\log_{\cos x} \sin x > 0,5$ - $x \in \Big( 0; \frac{\pi}{4} \Big) \cup \Big( \frac{\pi}{4}; \arccos \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Big)$

$\log_{\cos x} \sin x < 1$ - $x \in \Big( \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \Big)$

То есть ответ: $x \in \Big( \frac{\pi}{4}; \arccos \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Big)$

[Praded]

Keter в сообщении #573848 писал(а):

Знак неравенства... ну чтобы потом не менять

Я не о том. Вы одновременно поменяли знак у числителя и знаменателя. В таком случае знак неравенства не меняется.

[Keter]

Точно

[Keter]

Ответ: $x \in \Big(0; \frac{\pi}{4}\Big) \cup \Big(\arccos \frac{\sqrt{5}-1}{2}; \frac{\pi}{2} \Big)$