Как инженерную задачу перевести в математическую?

[Munin]

Математические модели бывают самые разнообразные, по сути, любой математический объект можно "возвести в ранг" математической модели чего-нибудь реального.

Обычно базовая идея о математической модели - это набор уравнений. Реальная система описывается набором чисел, меняющихся непрерывно, и этот набор задаёт пространство. Набор уравнений задаёт в нём подпространство, типа того, как уравнения в двух- и трёхмерном пространстве задают кривые и поверхности. Модель считает, что точка, соответствующая системе, находится всегда на этом подпространстве. Эту модель можно использовать по-разному, задавая одни числа, и разыскивая по ним другие.

Опираясь на эту базовую идею, можно развивать её по-разному, создавая другие математические объекты. Например, можно считать, что точки только приблизительно группируются вокруг такой поверхности, а сами случайно разбросаны вокруг неё, по законам математической статистики. Можно считать, что поверхность задана не просто уравнениями, а порождается дифференциальными уравнениями, и суть модели - это как раз дифференциальные уравнения, и их различные решения. Можно, дальше, считать, что какие-то числа меняются не непрерывно, а по шагам, например, мы рассматриваем систему в дискретные моменты времени, и тогда вместо дифференциальных уравнений у нас будут конечно-разностные или итерационные. Сочетанием дискретности со случайностью, можно перейти к цепям Маркова. Рассматривая разные дискретные величины (например, соответствующие разным входным воздействиям), можно задать модель в виде автомата или группы. И то, и другое изображается графом. И так далее, докуда хватит фантазии или потребностей задачи.

[bigarcus]

а что граф - это не модель? а изображение модели?

[Munin]

Граф и сам по себе может быть моделью, но на нём могут быть введены дополнительные структуры или соотношения, делающие его чем-то большим, чем просто граф.

[longstreet]

(Оффтоп)

Кстати, а (математический) узел $-$ это ведь то же какого-то рода граф?

[Munin]

(Оффтоп)

Нет. Узел - это вложение, или погружение (не принципиально, что именно) одномерной линии (принято брать кольцо $S^1$) в пространство большей размерности. В трёхмерное, потому что в других размерностях они все тривиальны (на плоскости верёвку не заплетёшь без самопересечений, а в 4-мерном пространстве всегда можно расплести). Поскольку сама одномерная линия проста, и пространство вложения просто, теория узлов изучает топологию дополнения до этого вложения - вот она может быть сложна. Вложения более сложных графов, чем кольцо, изучает теория кос и зацеплений, кажется.

[longstreet]

(Оффтоп)

Вроде узел можно как граф представить (точнее, мультиграф). Вершины графа - точки пересечения проекции узла, ребра - дуги кривых, соединяющих пары последовательных точек пересечения.

[Munin]

Один и тот же узел можно по-разному спроецировать. Правда, кажется, теория узлов рассматривает также и проекции узлов, но как именно - я не в курсе.

[longstreet]

Нет. Между проекциями и узлами одно-однозначное соответствие. И теория узлов работает только с проекциями узлов, больше никак с ними не работает.

[Ales]

Инженерная задача никогда не переводится в математическую.
Но инженерная задача содержит в себе кучу математических задач, которые обычно решаются тривиально (большинство на уровне школьной математики).

[A'Y]

Как разбить на математические/перевести вот эту?

[Ales]

A'Y в сообщении #573711 писал(а):

Как разбить на математические/перевести вот эту?

Ваша задача не инженерная.
Должны быть критерии приемки. Оптимальность - это не критерий.

Это наоборот, математическая задача, да ещё, похоже, NP-полная.

[A'Y]

А как выглядела бы формулировка инженерной задачи?

Критерии приемки - что это? Оптимальность -подразумевается минимальность длины соединяющих вершины ребер.

Что значит NP-полная? Насколько я понимаю, это просто что типа задача сложная, перебором тока решать очень много вариантов переборов еще гораздо больше поэтому времени очень очень очень много надо, даже большому кластеру компьютеров. Верно в общих словах?

[longstreet]

Да, как задача коммивояжёра, она NP-полная.

[Ales]

A'Y в сообщении #573718 писал(а):

А как выглядела бы формулировка инженерной задачи?

Критерии приемки - что это? Оптимальность -подразумевается минимальность длины соединяющих вершины ребер.

Что значит NP-полная? Насколько я понимаю, это просто что типа задача сложная, перебором тока решать очень много вариантов переборов еще гораздо больше поэтому времени очень очень очень много надо, даже большому кластеру компьютеров. Верно в общих словах?

Инженерная задача:
провести газ (по стандарту) к указанным участкам на реальной местности,
при этом, затраты не должны превосходить заданную сумму,
срок строительства - не должен превосходить заданный срок,
и даны ограничения на место, где может залегать труба.


NP-полная задача - Вы совершенно верно её описали.
Решается только перебором из числа случаев, которое растет экспоненциально с ростом числа объектов.

[A'Y]

Спасибо!

-- 20.05.2012, 18:14 --

Но вот что не понимаю. Стандартные методы вроде бы не позволяют исключить белые пятна на местности, то есть где труба с газом не может быть проведена. Или же просто ребрам графа приписывать значения, которые из экспериментальных данных следует я имею в виду кратчайшие пути проложить?

-- 20.05.2012, 18:16 --

И что, только перебором такую задачу решать? А нельзя переформулировать как некоторую оптимизационную задачу? Или физическую? Вот если дана местность, можно записать уравнение поверхности и физически понять как с этой местности например будет стекать вода. Там интегралы какие-нибудь, минимизирующие что-нибудь.