Бесквадратная последовательность

[Ktina]

Для каждого $n\in\mathbb N$ построим последовательность

$$n, \ \tau(n), \ \tau(\tau(n)), \ \tau(\tau(\tau(n))), \ \dots$$

Найти все $n$, для которых такая последовательность не содержит ни одного квадрата целого числа.

($\tau$ - это число делителей)

(Оффтоп)

Кстати, данное сообщение - юбилейное, 25-тысячное

[hippie]

Ответ: простые числа.

При $n\ne 1$ построенная последовательность убывает, пока не станет равной 2. Если $n\ne 2,$ то перед первой двойкой в последовательности стоит нечётное простое число. И если это число в последовательности не первое, то перед ним стоит квадрат.