Минимальный аннулирующий многочлен матрицы.

[ezhik]

Вопрос в том как его найти?
Вычисляю я характеристическую функцию. А потом, что делать?
Кроме перебора.

[Коровьев]

Может поможет.
Множество корней минимального многочлена совпадает с множеством корней характеристического многочлена матрицы.
Иначе, характеристический многочлен матрицы равен некоторой степени её минимального многочлена.

[ewert]

Коровьев в сообщении #573255 писал(а):

Множество корней минимального многочлена совпадает с множеством корней характеристического многочлена матрицы.

Это правда.

Коровьев в сообщении #573255 писал(а):

Иначе, характеристический многочлен матрицы равен некоторой степени его минимального многочлена.

А это нет.

[Коровьев]

Упс...Ошибся.
Я автоматически перенёс эту теорему из теории алгебраических расширений на матрицы.

[Padawan]

Минимальный многочлен равен характеристическому многочлену, поделенному на наибольший общий делитель миноров $n-1$ -ого порядка характеристической матрицы $A-\lambda E$.

[apriv]

Padawan в сообщении #573323 писал(а):

Минимальный многочлен равен характеристическому многочлену, поделенному на наибольший общий делитель миноров $n-1$ -ого порядка характеристической матрицы $A-\lambda E$.

Какой ад. Множитель $(x-\lambda)$ входит в минимальный многочлен с показателем $k$, если $k$ минимальное такое, что $\operatorname{Ker}(A-\lambda E)^n=\operatorname{Ker}(A-\lambda E)^{n+1}$, например.

[Padawan]

apriv
Для Вашего способа корни знать надо.

[мат-ламер]

apriv
Может изучали жорданову нормальную форму? Можно через неё вычислять.

[ewert]

apriv в сообщении #573366 писал(а):

Какой ад. Множитель $(x-\lambda)$ входит в минимальный многочлен с показателем $k$, если $k$ минимальное такое, что $\operatorname{Ker}(A-\lambda E)^n=\operatorname{Ker}(A-\lambda E)^{n+1}$, например.

Именно это, видимо, и подразумевалось под "перебором" в стартовом посте.

Padawan в сообщении #573377 писал(а):

Для Вашего способа корни знать надо.

Это-то для любого способа придётся.

[Padawan]

ewert
Тот сопособ, который я указал не требует. Только НОДы надо уметь находить

[ewert]

Padawan в сообщении #573422 писал(а):

Тот сопособ, который я указал не требует. Только НОДы надо уметь находить

Да, действительно. Я сбился с толку из-за того, что минимальный многочлен в практическом счёте всё равно никому не нужен.

[ezhik]

Помог совет Коровьева. Спасибо.

(Оффтоп)

Считаю, все-таки, Коровьева положительным персонажем в книге :)

[apriv]

Padawan в сообщении #573377 писал(а):

apriv
Для Вашего способа корни знать надо.

Ну, тогда можно взять матрицу $A-\lambda E$ и привести ее к нормальной форме Смита, чего уж там.